Como damiano deja implícito en su respuesta, una curva de género dos admite un mapa de grado N a una curva elíptica si y sólo si existe una isogenia de grado N^2 de su jacobiano y un producto de dos curvas elípticas. El caso N=2 también admite la siguiente descripción sencilla: una curva de género dos (sobre un campo alg. cerrado) es una doble cubierta de una elíptica si puede escribirse como $y^2 = f(x^2)$ donde $f$ es una cúbica libre de cuadrados con $f(0) \neq 0$ .
Se puede decir algo más. Dado un mapa $f : C \to E_1$ de grado N obtenemos también un mapa $f_\ast : \mathrm{Jac} \; C \to E_1^\vee$ . Si suponemos que f no se factoriza a través de una isogenia, entonces el núcleo es conexo, por lo que obtenemos una segunda curva elíptica E 2 como subgrupo en el jacobiano. Así que el jacobiano tiene dos subgrupos elípticos y resulta que se cruzan exactamente en su N -puntos de torsión. Obtenemos un isomorfismo inducido entre el N -que resulta invertir el emparejamiento de Weil, y estos son los datos necesarios para reconstruir C . Es decir, dadas dos curvas elípticas y un isomorfismo de sus N -subgrupos de torsión que invierten el emparejamiento de Weil, se puede considerar la gráfica de este isomorfismo en el producto de las curvas elípticas. La condición sobre el emparejamiento de Weil asegura que la gráfica es un subgrupo maximalmente isótropo, por lo que el cociente tendrá una polarización principal, y (cuando el cociente no es de nuevo un producto de dos curvas elípticas) esto es exactamente el Jacobiano de C con su polarización principal.
Se trata de un tema bastante clásico, bien explicado en varios artículos de Ernst Kani y Gerhard Frey. Empiece por "Curvas de género 2 que cubren curvas elípticas y una aplicación aritmética". También puede ser fructífero pensar en esto en un contexto general de variedades de Prym -- cuando tenemos un grado N de una curva de género dos a una curva elíptica, la segunda curva elíptica que aparece es, por supuesto, exactamente la variedad de Prym, que en este caso es principalmente polarizada.
Sé, en particular, que Frey y Kani elaboraron algunas condiciones bastante precisas sobre cuándo una superficie abeliana principalmente polarizada que surge como cociente de un producto de dos curvas elípticas como las anteriores es realmente el jacobiano de una curva. Sin embargo, no estoy muy seguro de en qué artículo se puede encontrar. Era algo así como: pares de curvas elípticas con un isomorfismo de su N -torsión están parametrizados por $Y(N) \times Y(N) / SL(2,{\mathbb Z}/N)$ y el lugar geométrico de tales pares que no dan lugar al jacobiano de una curva es la unión de ciertas correspondencias de Hecke sobre Y(N) . La descripción de exactamente qué correspondencias de Hecke era bastante complicada, pero cuando N es primo era al menos viable. El caso de N=2 es fácil: entonces el lugar "malo" no es más que la imagen de la diagonal en $Y(2) \times Y(2)$ .
