Hallar el radio de convergencia alrededor del origen

Question

Necesito encontrar el radio de convergencia alrededor del origen para esta función

$$ G(z) = \left(\frac{1 - \sqrt{1-4abz^2}}{2}\right) $$ donde, $$ \\ a+b = 1, \\ 0 < b < \frac 12 $$

Me cuesta convertir $G(z)$ a una serie de potencias y si utilizo la expansión de Taylor de $(1+x)^\frac12$ , obtengo $R=\infty$ lo cual no creo que sea correcto.

¿Puede alguien darme una pista sobre la forma correcta de enfocar esta cuestión?

Mis pasos hasta ahora (no estoy seguro de si son correctos),

\begin{align} G(z) & = \left(\frac{1 - \sqrt{1-4abz^2}}{2}\right) \\ & = \frac{2abz^2}{1 + \sqrt{1-4abz^2}} \\ & = \frac{2abz^2}{1 - \left(-\sqrt{1-4abz^2}\right)} \\ & = 2abz^2\sum_{j=0}^\infty (-1)^j\left(\sqrt{1-4abz^2}\right)^j & \text{if}\; \sqrt{1-4abz^2} & < 1 \\ \end{align}

Ahora, \begin{align} \text{if} \; & \sqrt{1-4abz^2} & < 1 \\ \implies & 1 - 4abz^2 & < 1 \\ \implies & 4abz^2 & > 0 \\ \implies & z \in \mathbb R \\ \implies & R = \infty \\ \end{align}

Answer 1

La serie que presentas no es una serie de Taylor para G(z) alrededor del origen. Una serie de Taylor sería de la forma $G(x)= a_0+a_1 x+a_2 x^2+...$ . Sería más fácil calcular el radio de convergencia de $1-2 G(x)=(1-4abz^2)^{-1/2}$ ya que es el mismo radio que para $G(x)$ . Una serie de Taylor especial descubierta por Newton, es el teorema del binomio generalizado : Si $|x|<1$ entonces para cualquier número real $r$ tenemos $$(1+x)^r= \sum_{n=0}^ {\infty} C(n,r) x^n $$ donde $C(0,r)=1$ y $C(n+1,r)=C(n,r)(r-n)/(n+1)$ ..... No sé si tienes suficiente formación para terminar esto. La serie de Newton converge para $|x|<1$ .para $|x|>1$ y $r$ no es un número natural y no $0$ los términos individuales de la serie ni siquiera convergen a $0$ La fórmula de Hadamard para el radio $r$ de convergencia de $a_0+a_1 x +a_2 x^2 +..$ viene dada por $$1/r = \lim_{n \to \infty} [ \sup_{m>n} |a_m|^{1/m}].$$ El radio de convergencia para $G$ es $1/ 2 \sqrt{a b}$ ...( Serie de Newton con $x=2 a b z^2$ ).