La respuesta es no suponiendo la existencia de un modelo de $\mathsf{ZFC+GCH}$ tener un supercompact cardenal.
En primer lugar, el uso de la Plata está obligando, no es una extensión genérica $V[K]$ donde $\kappa$ es todavía mensurables, sino $2^{\kappa}=\kappa^{++}$. Entonces podemos usar Prikry está obligando a obtener una extensión genérica $V[K][H]$ $V[K]$ de manera tal que todos los subconjuntos acotados de $\kappa$$V[K]$, todos los cardenales se conservan, $\kappa$ es todavía un fuerte límite y $\operatorname{cf}\kappa=\omega$. Deje $G=K\ast H$
Como hemos asumido $V\models\mathsf{GCH}$, no es difícil demostrar que en $V[G]$ tenemos $2^\lambda=\lambda^+$ todos los $\lambda>\kappa$; desde el poset produciendo $V[K]$ tiene el tamaño de $\kappa^{++}$ $V$ y el poset dando la extensión de $V[K][H]$ tiene el tamaño de $\kappa^{++}$$V[K]$.
Ahora vamos a trabajar en $V[G]$. Tenemos $$\kappa^{\aleph_0}=\kappa^{\operatorname{cf}\kappa}=2^{\kappa}=\kappa^{++},$$ and $$(\kappa^{+3})^{\omega_1}=(2^{\kappa^{++}})^{\omega_1}=2^{\kappa^{++}}=\kappa^{+3},$$ thus we can force with $Add(\omega_1,\kappa^{+3})$ to obtain a generic extension $V[G][H']$ where $2^{\omega_1}=\kappa^{+3}$, and $2^{\lambda}=\kappa^{+3}$ for all $\omega_1\leq\lambda\leq \kappa^{++}$. In $V[K]$, $\kappa$ is measurable, thus in there $\kappa=\aleph_\kappa$, so as cardinals are preserved in $V[G]$ we get that $\kappa=\aleph_\kappa$ is also true in $V[G][H']$.
Deje $\beta_0$ ser tal que $2^{\aleph_0}=\aleph_{\beta_0}$$V[G]$. A continuación,$\beta_0<\kappa$; como todos los subconjuntos acotados de $\kappa$$V[G]$$V[K]$. También tenemos $2^{\aleph_0}=\aleph_{\beta_0}$$V[G][H']$.
Así, si consideramos la siguiente función
$$F(\alpha)=\begin{cases} \beta_0 & \text{if}&\alpha=0 \\\kappa+3 & \text{if}& 1\leq\alpha\leq\kappa+2\\\alpha+1 &\text{if}&\alpha\geq\kappa+3 \end{cases},$$
de ello se desprende que para todos los números ordinales $\alpha$, $$V[G][H']\models 2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{F(\alpha)},$$
y como el poset hemos utilizado en $V[G]$ $<\omega_1$- cerrado, tenemos que $\kappa^{\aleph_0}=\kappa^{++}$ en esta extensión.
Ahora, vamos a $\mathbb P\in L$ ser un poset, el cardenal preservar, de tal manera que si $K'$ $L$- genérico más de $\mathbb P$, tenemos para todos los ordinales $\alpha$, $$L[K']\models 2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{F(\alpha)}.$$
En $L$, $\kappa$ es inaccesible, y por lo tanto en este modelo $\aleph_\kappa=\kappa$, así como el $\mathbb P$ conserva cardenales tenemos que $\aleph_\kappa=\kappa$$L[K']$.
Trabajemos en $L[K']$. La singular cardenales hipótesis es verdadera; desde $0^\sharp$ no existe, con lo que conseguimos que como $2^{\aleph_0}<\kappa$ $\kappa$ es regular, $\kappa^{\aleph_0}=\kappa$; esto puede ser comprobado con simples herramientas, por ejemplo usando el teorema 5.20 en Jech del libro.
Por lo tanto, tenemos que en ambos modelos de $V[G][H']$ y $L[K']$, $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{F(\alpha)}$ para todos los ordinales $\alpha$, pero
$$V[G][H']\models \aleph_\kappa^{\aleph_0}=\aleph_{\kappa+2}\text{ and }L[K']\models \aleph_\kappa^{\aleph_0}=\aleph_\kappa.$$
Nota: Este argumento debe ir a través con ningún problema en usar sólo un cardinal medible $\kappa$ de Mitchell orden de $\kappa^{++}$, trabajando en Mitchell modelo para ese $\kappa$, utilizando Gitik y Woodin está obligando. Sin embargo, como no estoy familiarizado con este método, he utilizado la Plata del lugar.
