La suma directa de conjuntos convexos es convexa

Question

Sea $S_1 \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto convexo compacto y sea $S_2 \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto convexo cerrado. Demostrar que entonces $A=S_1 \oplus S_2$ es convexa.

He aquí mi intento, en el que no he utilizado el hecho de que los conjuntos son compactos y cerrados:

Debo probar que $(s_1+s_2) + (1- \lambda)(s'_1 + s'_2) \in A$ para todos $\lambda \in [0,1]$ . Bueno, para mí esto es sencillo en el sentido de que la expresión anterior se puede escribir como $(s_1 +(1-\lambda)s'_1)+ (s_2+(1-\lambda)s'_2)$ y puesto que $S_1,S_2$ son convexas, el resultado es el siguiente. No entiendo por qué necesitamos que los conjuntos sean compactos y cerrados, ¿qué me estoy perdiendo? Estoy un poco confuso...

Answer 1

La convexidad es una propiedad de un subconjunto de un espacio vectorial; la topología -e, inherentemente, las nociones de cerrado y espacios- es completamente irrelevante aquí.

Sin embargo, ya que ha mencionado que se trata de deberes, supongo que la siguiente pregunta es demostrar que su suma $A=S_1+S_2$ es un conjunto cerrado.

Si hablamos de topología habitual, entonces sólo hay un subespacio lineal compacto de $\Bbb R^n$ - el espacio vectorial trivial $\{\vec 0\}$ .