¿Cómo demuestras sin un gráfico que el primer conjunto $T$ no es compacto y que el segundo conjunto $C$ es compacto?

Question

Así que estoy un poco atascado aquí.

Inicialmente, la pregunta era determinar si alguno de estos conjuntos era compacto, y había concluido que el primero lo era y que el segundo no lo era.

Luego fui a verificar mis respuestas en Desmos y encontré que era todo lo contrario, así que me pregunto cómo probar esto analíticamente?

Intenté de nuevo pero estoy completamente perdido. Aquí están los conjuntos:

Sea $T$ un subconjunto de $R^2$ tal que, $T = \{ (x, y) \in R^2 : x^3 + y^3 + xy \leq 25\}$

Sea $C$ un subconjunto de $R^2$ tal que, $C = \{ (x, y) \in R^2 : x^4 + y^{18} \leq 25 \}$

Gracias de antemano, cualquier consejo o dirección sería genial. Estoy al tanto del teorema de Heine–Borel, pero no puedo descifrar cómo demostrar que podemos usarlo para el conjunto $C$

Answer 1

Ambos conjuntos son cerrados y por lo tanto cada uno de ellos es compacto si y solo si está acotado.

El conjunto $T$ es no acotado porque, para cada $y\in\Bbb R$, la ecuación (en la variable $x$) $x^3+y^2+xy=0$ tiene alguna solución $x$ (es una ecuación cúbica) y por lo tanto $T$ tiene puntos cuya segunda componente es arbitrariamente grande. Por lo tanto, $T$ es no acotado.

Pero si $(x,y)\in\Bbb R^2$ es tal que $|x|,|y|\geqslant3$, entonces $x^4+y^{18}>25$ y por lo tanto $(x,y)$ no pertenece a $S$. Por lo tanto, $C$ está acotado.

Answer 2

$T$ no está acotado. Puedes calcular y ver que $(-n, 0) \in T$ para cualquier $n \in \mathbb N$. Por lo tanto, es imposible que $T$ sea compacto.

$C$ está acotado. De hecho, para un límite burdo, $C$ está contenido en el disco $D(0; 5) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 : x^2 + y^2 \leq 25\}$. Para ver que $C$ es cerrado, nota que la función $f_C(x, y) = x^4 + y^{18}$, $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es continua y $C$ es la preimagen del conjunto cerrado $[0, 25]$ en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $C$ también es cerrado. Por Heine-Borel, la compacidad sigue.

Answer 3

Pista: Un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ es compacto si y solo si es tanto cerrado como acotado. Dado que cada uno está definido por una única desigualdad inclusiva, cada uno es cerrado. Ahora solo queda decidir cuál está acotado, lo dejo a tu criterio.