Integral de la $\int_0^\infty \frac{\cos x}{x}\left(\int_0^x \frac{\sin t}{t}dt\right)^2dx=-\frac{7}{6}\zeta_3$

Question

Hola estoy tratando de demostrar que esta a continuación. $$ I:=\int_0^\infty \frac{\cos x}{x}\left(\int_0^x \frac{\sen t}{t}dt\right)^2dx=-\frac{7}{6}\zeta_3 $$ donde $$ \zeta_3=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}. $$ No estoy seguro de cómo trabajar con la integral sobre la $t$ porque es de$0$$x$. Si podemos de alguna manera escribir $$ \int_0^\infty \frac{\cos x}{x} \left(\int_0^\infty \frac{\sen t}{t}dt-\int_x^\infty \frac{\sen t}{t}dt \right)^2dx=\int_0^\infty \frac{\cos x}{x}\left(\frac{\pi}{2}-\int_x^\infty \frac{\sen t}{t}dt\right)^2dx. $$ No quiero usar un asintótica de expansión en la integral t $x$$\infty$, estoy en busca de resultados exactos. Nota: se puede utilizar $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}dt=\int_0^\infty \mathcal{L}[\sin t(s)]ds=\frac{\pi}{2}.$ aparte de este enfoque no estoy realmente seguro de cómo ir sobre esto. Nota: por definición $$ \int_0^x \frac{\sen t}{t}dt\equiv Si(x), $$ pero no estoy demasiado seguro de lo que esta definición puede ser utilizado para en términos de una prueba. También se nota $$ \int_0^\infty \frac{\cos x}{x}dx \to \infty. $$

Answer 1

Es extraño que no puede acceder a ese enlace. No entiendo por que.

Me acrediten esta a Shobit.

De todos modos, lo que Shobit hacer fue escribir como una integral triple.

$$I=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{\cos(x)\sin(xy)\sin(xz)}{xyz}dydzdx$$

$$I=1/4\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(x(y-z+1))+\cos(x(y-z-1))-\cos(x(y+z+1))-\cos(x(y+z-1))}{xyz}dxdydz$$

Ahora, utilizar el resultado conocido: $$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(bx)-\cos(ax)}{x}dx=\log(a/b)$$

El uso de este, ahora puede ser escrito en términos de un registro:

$$I=1/4\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{1}{yz}\log\left(\frac{(y+z+1)(y+z-1)}{(y-z+1)(y-z-1)}\right)dydz$$

Ahora, la integración de este w.r.t y es donde la dilogs entran en juego:

$$I=1/4\int_{0}^{1}\frac{Li_{2}(\frac{1}{z+1})+Li_{2}(\frac{1}{z-1})-Li_{2}(\frac{-1}{z+1})-Li_{2}(\frac{1}{1-z})}{z}dz$$

Tal vez usted puede terminar ahora por su cuenta. Ahora se trata de la conocida dilog integrales. Esta es la mayor parte de ella. Pero, si usted necesita más puedo escribir el resto más tarde.