Topología: Determinar si un subconjunto es un retracto de R^2

Question

1. El enunciado del problema, todas las variables y los datos dados/conocidos

Sea $X=([1,\infty)\times\{0\})\cup(\cup_{n=1}^{\infty}\{n\}\times[0,1])$ y $Y=((0,\infty)\times\{0\})\cup(\cup_{n=1}^{\infty}\{n\}\times[0,1])$

$a)$ Encontrar subespacios del plano euclídeo $\mathbb{R}^2$ que son homeomórficas a la compactificación con un punto $X^+$ y $Y^+$

$b)$ son cualquiera de los subespacios $X$ y $Y$ repliegues de $\mathbb{R}^2$

2. Ecuaciones relevantes

3. El intento de solución

Pude encontrar los subespacios necesarios para $a)$ y probé que son homeomórficas, sin embargo estoy teniendo algunos problemas con $b)$ . Sé que $Y$ no puede ser un repliegue ya que no está cerrado.

Tengo que desde $\mathbb{R}^2$ es un espacio métrico, por lo tanto $T_{2}$ y sabemos que si $f,g:X\to Y$ son continuos y $Y\in T_{2}$ entonces el conjunto $\{x|f(x)=g(x)\}\subset Y$ está cerrado. Sin embargo, en este caso $Y=\mathbb{R}^2$ y si existe una retracción $r:\mathbb{R}^2\to Y\subset \mathbb{R^2} $ el conjunto $\{x|r(x)=id_{x}(x)=x\}$ que es $X$ debe estar cerrado. Y como no lo está. $ X $ no puede ser una retractación. ¿Puede alguien corregirme si he hecho algo mal?

Sin embargo, este argumento no sirve para $X$ como $X$ está cerrado. $X$ también está conectado, por lo que también falla. No puedo encontrar un homeomorfismo entre $X$ y $\mathbb{R}$ . ¿Podría alguien aclararnos cómo podemos determinar si X es un repliegue o no?

Answer 1

Tienes razón sobre el espacio $Y$ no ser una retractación de $\mathbb R^2$ debido a que no está cerrado.

Para la segunda parte, basta con demostrar que $X$ es un repliegue de $A:=[1,\infty)\times[0,1]$ desde $A$ es un repliegue de $\mathbb R^2$ porque se cumple que si $X$ es un repliegue de $A$ y $A$ es un repliegue de $\mathbb R^2$ entonces $X$ es un repliegue de $\mathbb R^2$ (esta "transitividad" se deduce directamente de la definición de retracto).

Sea $X_n:=\{n\}\times[0,1]\cup[n,n+1]\times\{0\}$ y $A_n:=[n,n+1]\times[0,1]$ . Primero demostremos $X_n$ es un repliegue de $A_n$ . $X_n\cong [0,1]$ es decir, existe un homeomorfismo $f_n\colon X_n\rightarrow [0,1]$ . Entonces por el teorema de extensión de Tietze, $\exists \hat f_n:A_n\rightarrow[0,1]$ continua, tal que $\hat f_n|_{X_n}\equiv f_n$ . Entonces $r_n\colon A_n\rightarrow X_n$ dado por $r_n=f_n^{-1}\circ \hat f_n$ es una retracción de $A_n$ a $X_n$ . Ahora defina $r\colon \cup_{n=1}^\infty A_n\rightarrow\cup_{n=1}^\infty X_n$ a trozos, es decir, $r(x,y)=r_n(x,y)$ siempre que $(x,y)\in A_n$ . $r$ es continua, porque es continua a trozos en una cubierta cerrada localmente finita $\{A_n\;|\;n\in\mathbb N\}$ de $A$ y se mantiene $r|_X\equiv \mathrm{id}_X$ ya que la restricción es la identidad a trozos. Por lo tanto $X$ es un repliegue de $A$ .

Edición: quizá me precipité al decirlo $A$ es un repliegue de $\mathbb R^2$ así que aquí está la prueba. Mapa de identidad $\mathrm{id}_A\colon A\rightarrow A$ es continua y $A\in\operatorname{AE}(\mathcal N)$ porque $A$ es un producto de intervalos $[1,\infty)$ , $[0,1]$ de $\operatorname{AE}(\mathcal N)$ (aquí $\mathcal N$ denota la clase de espacios normales). Por lo tanto, $\exists\tilde r\colon \mathbb R^2\rightarrow A$ tal que $\tilde r|_A\equiv \mathrm {id}_A$ . Por fin, $r\circ \tilde r\colon \mathbb R^2\rightarrow X$ es nuestra retractación deseada.