Demostración por inducción y desigualdades

Question

Estoy atascado en esta pregunta:

dado $a_1a_2(\frac{a_1+a_2}{2})^2$ demostrar por inducción de m que $$a_1a_2...a_p(\frac{a_1+a_2+...+a_p}{p})^p$$ donde $a_i$ son todas positivas y reales y $p=2^m$ (un aumento de m unidad duplica el número de factores del producto)

Mirando en otras preguntas conozco el tipo de método pero no consigo que funcione con esto. Estoy bien con la prueba normal por inducción (es decir, igualdades en lugar de desigualdades). Por favor, ¿pueden darme algunas pistas para resolverlo?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$(a_1a_2)(a_3a_4)\leq\left[\frac{a_1+a_2}{2}\right]^2\left[\frac{a_3+a_4}{2}\right]^2 = \left[\left(\frac{a_1+a_2}{2}\right)\left(\frac{a_3+a_4}{2}\right)\right]^2\\ \leq \left[\frac1{4}\sum_{i=1}^{4}a_i\right]^4.$$

Usa esto para demostrar por inducción que

$$\left[\prod_{i=1}^{2^n}a_i\right]^{1/2^n} \leq \frac1{2^n}\sum_{i=1}^{2^n}a_i.$$