Por ejemplo
$$\left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \end{array} \right|=40$$
¿Puede ser más grande que eso? ¿Y cuál es su enfoque?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, siempre se puede evitar la opción de rellenar un "1" porque el determinante es siempre una función lineal de cualquier entrada. Así que sustituyendo el 2 o el 0 se puede asegurar un determinante igual o mayor.
Y si la cuestión es rellenar el 2 o el 0, entonces, como señaló Mark Bennet, se puede simplificar en una matriz binaria. Sin embargo, este problema "simplificado" es en realidad un caso particular del muy complicado "problema del determinante máximo de Hadamard" ( MathWorld | Wikipedia ). La solución general aún no se ha descubierto.
La respuesta para este caso concreto es $48=3\times2^4$ . Y hay 60 posibles matrices diferentes que tienen este determinante.
Matthew Scouten
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De manera más general, considere un $n \times n$ matriz cuyas entradas están en $[0,k]$ para algunos $k > 0$ . Dado que el determinante es una función afín de cada elemento de la matriz, también podemos suponer que cada elemento es $0$ o $k$ . Además, al escalar, la respuesta será $k^n$ veces lo que obtendríamos sustituyendo $k$ por $1$ . Ahora busque "problema del determinante máximo de Hadamard". Véase, por ejemplo https://oeis.org/A003432 y referencias allí.
goric
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