Hallar el cuarto lado de un cuadrilátero dados tres lados y dos ángulos

Question

Para determinar completamente un cuadrilátero, hay que disponer de cinco datos independientes, de lados y ángulos.

Si tienes cinco datos (todos los lados exteriores y una diagonal), encontrar los ángulos es fácil con la regla del coseno.

Del mismo modo, con cuatro lados y un ángulo, la regla del coseno es suficiente para resolver los otros ángulos.

Con tres lados y dos ángulos, basta con aplicar la regla del coseno para hallar los demás lados y ángulos.

Excepto en un caso. Si los dos ángulos no están entre ninguno de los tres lados, entonces no hay forma inmediata de utilizar la regla del coseno. ¿Cómo se resolvería el lado final en este caso?

Ejemplo (disculpas por la mala calidad):

Answer 1

Gira la figura de modo que el lado con dos ángulos se encuentre en el ángulo $x$ -eje, con longitud $k$ . Hallando las coordenadas de los puntos, el lado opuesto debe tener longitud $5$ o:

$$(2 \sin 87 - 4 \sin 85)^2 + (k - 2 \cos 87 - 4 \cos 85)^2 = 25 $$ $$\implies k^2 +2(-2 \cos 87-4 \cos85)k + \left((-2 \cos87-4\cos85)^2 + (2 \sin 87 - 4 \sin 85)^2 - 25\right) = 0$$ $$\implies k \approx 5.041$$

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El término constante puede simplificarse aún más como $4 + 16 + 8 \cos 87 \cos 85 - 8 \sin 87 \sin 85 - 25$ $ = 16 \cos 172 - 5$ . Esto da:

$$k = \frac{4(\cos 87 + 2 \cos 85) + \sqrt{16(\cos 87 + 2 \cos 85)^2 - 4(16 \cos 172 - 5)}}{2}$$

$$= 2(\cos 87 + 2 \cos 85) + \sqrt{4(\cos 87 + 2 \cos 85)^2 - 16 \cos 172 + 5}$$