Derivación de la siguiente función

Question

Sabemos que si $\sin x$ es positivo, entonces $\sin x\le 1$ . Así que $\ln(\sin x)$ es negativo. Por lo tanto, el dominio de $f(x)=\sqrt{\ln(\sin x)}$ es $\{2k\pi+\pi/2;k\in \Bbb Z\}$ . Por lo tanto $\operatorname{Int}(D_{f})=\emptyset$ . Ahora por Wolfram Alpha $$f'(x)=\frac{\cot x}{2\sqrt{\ln(\sin x)}}.$$ ¿Hay alguna contradicción o mi razonamiento es erróneo?

Answer 1

No se especifica el campo utilizado con wolframalpha. Si el campo no es $\mathbb{R}$ pero $\mathbb{C}$ entonces el logaritmo, el seno y la raíz cuadrada son funciones holomorfas con (la mayor parte de) $\mathbb{C}$ como todo su dominio.

Así pues, worlframalpha tiene razón al hacer los cálculos estándar, en caso de que necesitara el resultado en $\mathbb{C}$ .

Answer 2

Tienes razón. Wolfram|Alpha probablemente sólo calculó la derivada usando las reglas de derivación estándar, pero incluso entonces tenemos que $$\operatorname{dom}(f') = \emptyset$$

Así que la derivada no tiene sentido (sobre los reales).

Answer 3

La de Wolfram Alpha es una respuesta formal, obtenida mediante la manipulación de símbolos y reglas sistemáticas. No comprueba si la función está definida.