Desembalaje de una prueba de que el grado de la extensión del campo $[L:L^H]$ es igual a $|H|$ .

Question

Estoy tratando de entender la prueba proporcionada en este enlace . Dice así:

Teorema : Sea $L$ sea un campo y sea $H$ sea un subgrupo finito de $\text{Aut}(L)$ . Si $L^H$ es el campo fijo de $H$ entonces $$[L:L^H]=|H|$$

Prueba : let $H=\{\sigma_1,\ldots ,\sigma_r\}$ . Cada $\alpha \in L$ tiene una órbita finita $\{\sigma_1(\alpha),\ldots ,\sigma_r(\alpha)\}$ en $H$ por lo que el polinomio

$$p(x)=\prod_i \big(x-\sigma_i(\alpha)\big)$$

está en $L^H[x]$ . Esto demuestra que la extensión es separable, normal, y que cada elemento $\alpha\in L$ tiene grado menor o igual que la cardinalidad de $H$ . Así que $[L:L^H]$ es finito, y dado que $H\leq \text{Gal}(L:L^H)$ tenemos que $[L:L^H]=|H|$ .

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Hay algunas cosas que no entiendo de esta prueba:

1. ¿Por qué es separable la extensión? ¿No es posible que $\sigma_i(\alpha)=\sigma_j(\alpha)$ para algunos $i\neq j$ ?

2. ¿Por qué $[L:L^H]$ ¿finito? Sólo porque cada elemento es algebraico sobre $L^H$ no se deduce que el grado de la extensión sea finito.

3. Teniendo en cuenta lo anterior, puedo entender por qué $|H|\leq[L:L^H]$ ¿pero cómo establece la prueba la igualdad?

Answer 1

Intentaré responder a sus preguntas por orden.

1. Por supuesto que es posible que para algunos $\sigma,\tau\in H$ la igualdad $\sigma(\alpha)=\tau(\alpha)$ retenciones.

Sea $K=\{\sigma\in H\mid\sigma(\alpha)=\alpha\}$ . Es evidente que $K$ es un subgrupo de $H$ . Sea $H=\sigma_1K\cup\ldots\cup\sigma_kK$ sea la unión de diferentes cosets izquierdos. Entonces $\sigma_i(\alpha)$ son diferentes entre sí. Por lo tanto, el polinomio mínimo $$ f(x)=(x-\sigma_1(\alpha))\ldots(x-\sigma_k(\alpha)) $$ de $\alpha$ en $L^H$ tiene raíces distintas.

2. Aquí se demuestra que cada elemento de $L$ tiene grado inferior a la cardinalidad de $H$ . De ello se deduce que el grado de la extensión $|L:L^H|$ es finito. Esto se deduce, por ejemplo, del teorema del elemento primitivo. Si $L^H<L_1$ es una extensión de campo separable de grado finito (aquí $L_1<L$ ), entonces es sencillo $L_1=L^H(\alpha)$ . Así que $|L_1:L^H|\leq|H|$ . Desde $L$ es la unión de todos los $L_1$ tenemos $|L:L^H|\leq|H|$ .

3. Ver 2.

Espero no equivocarme.