La función es continua en $R^2$ Si considero $ f(x,x)=|x|(2x^2-20)$ no está limitado para $x\rightarrow \infty$ Pero cuando calculo derivadas parciales de f(x,y) tengo que estudiar diferentes casos sobre el signo de (2x-y)?
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anbarief
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Si una función tiene forma absoluta, puede ser menos abstracto si convierte el formulario para eliminar el formulario absoluto.
En su caso :
$$ f(x,y) = \begin{cases} (2x-y)(x^{2} + y^{2} - 20), \: \text{ for} \:\:\: 2x-y \ge 0 \\ -(2x-y)(x^{2} + y^{2} - 20), \: \text{ for}\:\:\: 2x-y < 0 \end{cases} $$
A continuación, investiga el mínimo o el máximo de cada región.
*Si encontró un valor óptimo utilizando la derivada parcial de la primera función , en $(a, b)$ con $a < \frac{b}{2}$ . Entonces esto no ser válido desde ese momento $(a,b)$ no está en el dominio del primer función.
Espero que esto ayude.
avz2611
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La función es incluso para $(x,y)$ por lo tanto definen $y'=-y_1$ y reescribimos la ecuación como $|2x+y_1|(x^2+y_1^2-20)$ ahora para maximizar esta toma $(x,y_1)$ como positivo. $$f(x,y_1)=(2x+y_1)(x^2+y_1^2-20)$$
Podemos maximizar esto creando dos ecuaciones diferenciales parciales y nuestra solución será $(x,-y_1)$ y $(-x,y_1)$
Ennar
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Puedes intentarlo con coordenadas polares. La función se convierte entonces en
$$f(r,\vartheta)=(r^3-20r)|2\cos\vartheta-\sin\vartheta|$$
que es mucho más sencillo encontrar valores extremos. Como has notado, la función es ilimitada desde arriba. Para el mínimo de $f$ Obsérvese que se alcanza en mínimo global de $r^3-20r$ en $[0,+\infty)$ y máximo global de $|2\cos\vartheta-\sin\vartheta|$ en $[0,2\pi)$ .
Desde $(r^3-20r)' = 3r^2-20$ mínimo global de $r^3-20r$ en $[0,+\infty)$ se consigue en $0$ , $+\infty$ o $\frac{2\sqrt 5}{\sqrt 3}$ . Por inspección, se encuentra en $r = \frac{2\sqrt 5}{\sqrt 3}$ .
Para el otro, tenemos que $(2\cos\vartheta-\sin\vartheta)' = -2\sin\vartheta-\cos\vartheta$ por lo que los extremos se alcanzan $0$ , $\arctan(-\frac 12)$ o $\arctan(-\frac 12)+\pi$ . Por el valor absoluto, $|2\cos\vartheta-\sin\vartheta|$ tiene el mismo valor en $\arctan(-\frac 12)$ y $\arctan(-\frac 12)+\pi$ y a partir de las fórmulas $$\cos\arctan x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\ \sin\arctan x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$
resulta que el valor es $\sqrt 5$ .
En total, un mínimo de $f$ es $-\frac{400}{3\sqrt 3}$ .
