En una lista de $n$ números, si un número concreto aparece más de $\frac n 3$ veces, aparecerá en subparticiones

Question

Me he quedado sin caracteres en el título, así que aquí está la pregunta completa:

En una lista de $n$ números tales que $n = 2^k$ si un número concreto aparece más de $\frac n 3$ veces, y dividimos la lista en 2 listas de longitud par, demostrar que el número en particular también aparecerá más de $\frac {n} 6$ veces en al menos una de las sublistas.

Por ejemplo:

$$[1, 2,3,3,5,3, 6, 7]$$

El número $3$ aparece más de $\frac 8 3$ veces en la lista. Además, en algunas sublistas (que son de tamaño $4$ ), aparecerá más de $\frac 1 3$ del tiempo en esa sublista. Por ejemplo, la sublista $[1, 2, 3, 3]$ y $[5, 3, 6, 7]$ parece más que $\frac 1 3$ del tiempo en la primera sublista.

Esto me parece intuitivo, pero ¿cómo puedo demostrarlo con rigor?

Answer 1

Si el número es inferior a $\frac {n}{6}$ en ambas subparticiones, entonces aparece menos de $\frac {n}{3}$ en la lista original.

Así, al menos en una de las subpartes, parece $\ge \frac {n}{6}$ veces pero la igualdad no es una opción porque no es un número entero.

Por lo tanto, aparece en una de las subpartidas más de $\frac {n}{6} $ veces