Estoy tratando de usar una serie de Taylor centrada en $0$ para evaluar este límite:
$$\lim_{x\to \infty}4x^3(e^\frac{-2}{x^3}-1)$$
Reescribí la función como su serie Maclaurin:
$$4x^3(e^\frac{-2}{x^3}-1)=\sum_{k=1}^\infty\frac{4x^{3-\frac{2k}{x^3}}}{{k!}}$$
En forma ampliada:
$$\sum_{k=1}^\infty\frac{4x^{3-\frac{2k}{x^3}}}{{k!}}=4x^{3-\frac{2}{x^3}}+\frac{4x^{3-\frac{4}{x^3}}}{2!}+\frac{4x^{3-\frac{6}{x^3}}}{3!}+...$$
En $x$ va a $\infty$ , $\frac{2}{x^3}$ va a $0$ . Así, el límite del primer término es simplemente el límite de $4x^3$ que es $\infty$ . Basándome sólo en este hecho, yo asumiría, que el límite de toda la serie es $\infty$ pero aparentemente la respuesta es $-8$ . ¿Qué he hecho mal?
