Leyendo sobre el número de condición de una matriz me encontré con la igualdad $\kappa (M^{-1}A) = \kappa(M^{-1/2}AM^{-1/2})$ para algunas matrices invertibles $A,M\in\mathbb R^{n\times n}$ y $A$ simétrica positiva definida. ¿Por qué es así? ¿Y se puede decir en general que $M^{-1}A = M^{-1/2}AM^{1/2}$ ?
Respuesta
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Usted escribió en su comentario que
La línea completa dice: $\kappa(M^{-1}A)=\kappa(M^{-1/2}AM^{-1/2})=\frac{\lambda_\max(M^{-1/2}AM^{-1/2})}{\lambda_\min(M^{-1/2}AM^{-1/2})}$ mientras que $\lambda_\max$ y $\lambda_\min$ son los valores propios mayor y menor. $M$ sólo se da como invertible.
Por lo que dice, parece que en realidad,
- $M$ es positiva definida,
- el número de condición se define mediante el operador 2-norma, y
- $M$ conmuta con $A$ .
Si se cumplen las condiciones anteriores, la igualdad se mantiene porque $M^{-1}A=M^{-1/2}AM^{-1/2}$ y para matrices definidas positivas, los valores singulares ordenados coinciden con los valores propios ordenados.
Deberías volver a leer el documento para ver si hay alguna insinuación o mención de pasada de que se cumplen las condiciones anteriores. Si no es así, o bien hay otras condiciones no especificadas, o bien los autores están equivocados, porque la igualdad no se cumple en general. Como contraejemplo, supongamos $\kappa(X):=\|X^{-1}\|_2\|X\|_2$ y considerar $$ M^{-1/2}=\pmatrix{2&1\\ 1&1},\ M^{-1}=\pmatrix{5&3\\ 3&2},\ A=\pmatrix{1&0\\ 0&2}. $$ En este contraejemplo, sólo se incumple la condición 3. Se puede verificar que $$\kappa(M^{-1}A)\approx 42.98 \ne 38.47\approx\kappa(M^{-1/2}AM^{-1/2})=\frac{\lambda_\max(M^{-1/2}AM^{-1/2})}{\lambda_\min(M^{-1/2}AM^{-1/2})}.$$
