Demostrar desigualdades $2\sqrt{n+1}-2 \leq 1 + 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{3} + .... + 1/\sqrt{n}\leq 2\sqrt{n}-1$

Question

Demuestre que para cualquier número entero positivo $n$ , $$ 2\sqrt{n+1}-2 \leq 1 + 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{3} + .... + 1/\sqrt{n}\leq 2\sqrt{n}-1 $$

la parte central puede expresarse como una suma $1/\sqrt{x}$ de 1 a $n$ lo que conduce a una $Hn^{0.5}$ . No estoy seguro de cómo eso ayuda.

Intenté diferenciar ambas funciones finales y descubrí que ambas son crecientes.. Pero no parece ayudar mucho ... ayuda pls

Answer 1

$2\sqrt{n+1}-2 \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \leq 2\sqrt{n}-1$

Lo demostramos con las siguientes afirmaciones:

1. $2\sqrt{n+1}-2 \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}$

2. $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \leq 2\sqrt{n}-1$

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Demostración de (1) por inducción:

$\\ \\$

Caso base: Observe que $2\sqrt{1+1} - 2 \leq 1$ .

$\\ \\$

Paso inductivo: Supongamos que $2\sqrt{k+1}-2 \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}}$ .

Entonces, $2\sqrt{k+1}-2 + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ .

Así, para demostrar que $2\sqrt{k+2}-2 \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ podemos demostrar simplemente que $2\sqrt{k+2}-2 \leq 2\sqrt{k+1}-2 + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ .

\begin{align} & 2\sqrt{k+2}-2 \leq 2\sqrt{k+1}-2 + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \\ \Longleftrightarrow & 2\sqrt{k^2+3k+2} - 2\sqrt{k+1} \leq 2k + 2 -2\sqrt{k+1} + 1 \\ \Longleftrightarrow & 2\sqrt{k^2+3k+2} \leq 2k+3 \\ \Longleftrightarrow & 4k^2+12k+8 \leq 4k^2+12k+9 \quad \text{as} \quad 2\sqrt{k^2+3k+2},2k+3 > 0 \\ \Longleftrightarrow & 8 \leq 9 \quad \text{which is true} \end{align}

Por lo tanto, (1) queda demostrado.

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Demostración de (2) por inducción: $\\ \\$

Caso base: Observe que $1 \leq 2\sqrt{1}-1$ .

$\\ \\$

Paso inductivo: Supongamos que $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 2\sqrt{k}-1$ .

Entonces $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{k}-1 + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ .

Así pues, para demostrar que $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{k+1}-1$ podemos demostrar simplemente que $2\sqrt{k}-1 + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{k+1}-1$ .

\begin{align} & 2\sqrt{k}-1 + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{k+1}-1 \\ \Longleftrightarrow & 2\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \leq 2\sqrt{k+1} \\ \Longleftrightarrow & 2\sqrt{k^2+k} + 1 \leq 2k+2 \\ \Longleftrightarrow & 2\sqrt{k^2+k} \leq 2k+1 \\ \Longleftrightarrow & 4k^2+4k \leq 4k^2+4k+1 \quad \text{as} \quad 2\sqrt{k^2+k},2k+1 > 0 \\ \Longleftrightarrow & 0 \leq 1 \quad \text{which is true} \end{align}

Por lo tanto, (2) queda demostrado.

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Ahora vemos que $2\sqrt{n+1}-2 \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ y $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \leq 2\sqrt{n}-1$ son ambas verdaderas para todos los números enteros positivos $n$ . Por lo tanto, concluimos que $2\sqrt{n+1}-2 \leq 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \leq 2\sqrt{n}-1$ para todos los enteros positivos $n$ .

Answer 2

Pista: $2\sqrt{k+1} - 2\sqrt{k}<\dfrac{1}{\sqrt{k}} = \dfrac{2}{2\sqrt{k}} < \dfrac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} = 2\sqrt{k} - 2\sqrt{k-1}$ . Ahora dejemos que $k$ va desde $1$ a $n$ y suma.