Integración de una expresión trigonométrica

Question

¿Cómo evaluarías la siguiente integral indefinida?

$$ \int \frac {\ln{(x)} \cdot \cos{(x)}}{\sin^2 {(x)}} dx $$

Answer 1

$$\int \ln x\csc x\cot x {\rm d}x=-\ln x\csc x-\int \frac1x(-\csc x){\rm d}x\\ =-\ln x\csc x+\int\frac{{\rm d}x}{x\sin x}$$ Y no creo que el segundo término tenga una forma cerrada. Tengo otra idea, pero eso es realmente innecesario: $$\int\frac{{\rm d}x}{x\sin x}=-4\int\sum_{k=-2}^{\infty} \frac{(2ix)^k B_{k+2}\left(\frac12\right)}{(k+2)!}{\rm d}x=-4\sum_{k=-2}^{\infty} \frac{(2ix)^{k+1} B_{k+2}\left(\frac12\right)}{2i(k+2)!}$$

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$$\int \frac{\ln x\cos x}{\sin^2x} {\rm d}x\stackrel{u=\sin x}=\int\frac{\ln \arcsin u}{u^2}{\rm d}u$$

Y probablemente esto no procede de ninguna parte en funciones matemáticas estándar.