La desigualdad de $\frac{1-3ab}{1-2ac}+\frac{1-3bc}{1-2ba}+\frac{1-3ca}{1-2cb}\geq 0$

Question

Vamos $a\ne 0$, $b\ne 0$ y $c\ne 0$ tal que $a^2+b^2+c^2=1$. Probar que: $$\dfrac{1-3ab}{1-2ac}+\dfrac{1-3bc}{1-2ba}+\dfrac{1-3ca}{1-2cb}\geq 0.$$

Mi intento de la solución: Tenemos que $ab +bc+ca$ se encuentra entre $-0.5$$1$. Podemos utilizar esto. Pero no sé cómo?

Answer 1

Voy a utilizar la notación $\sum_{cyc} f(x,y,z)$ significa que la suma es sobre el llamado permutaciones cíclicas de $(x,y,z)$ (o incluso si lo prefieres), por lo $\sum_{cyc} f(x,y,z):=f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)$ (en lugar de $x,y,z$ también habrá otras variables).

Lema. Si $x,y,z\ge 0$$\sum_{cyc} (x+y-2z)(z+x)(x+y)\ge 0$.
Prueba. Tenemos $\sum_{cyc}(x+z-2y)(z+x)(x+y)$
$=\sum_{cyc}(x^2z+xyz+x^3+x^2y+xz^2+yz^2+x^2z+xyz-2xyz-2y^2z-2x^2y-2xy^2)$
$=\sum_{cyc} x^3-2\sum_{cyc} x^2y+\sum_{cyc} xy^2=\sum_{cyc} x(x-y)^2\ge 0$. $\blacksquare$

Su desigualdad (usando la hipótesis de $a^2+b^2+c^2=1$) puede ser escrita como $\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2+c^2-ab}{(a-c)^2+b^2}\ge 0$.
Que nos llame a $A=(b-c)^2+a^2$ y $B$, $C$ de manera similar (por cíclicamente permuting las variables).
La desigualdad se convierte en $\sum_{cyc} \frac{C}{B}\ge\sum_{cyc}\frac{ab}{B}$.
Poner a $S=a^2+b^2+c^2$ claramente tenemos $ab=\frac{S-C}{2}$ (y el cíclico), por lo que la desigualdad es equivalente a $3\sum_{cyc}\frac{C}{B}\ge \sum_{cyc}\frac{S}{B}$ o (lo que es lo mismo) $3\sum_{cyc}\frac{B}{A}\ge \sum_{cyc}\frac{S}{A}$.
Vamos a probar algo un poco más fuerte, a saber, que $3\sum_{cyc}\frac{B}{A}\ge\sum_{cyc}\frac{A+B+C}{A}$ (esto implica la desigualdad desde $A+B+C\ge S$).
Ahora observe que el $A-B=2c(a-b)\le (a-b)^2+c^2=C$ (y por simetría $B-C\le A$, $C-A\le B$), de modo que $A,B,C$ satisfacer el triángulo de las desigualdades $A\le B+C$, $B\le C+A$, $C\le A+B$.
Así, podemos realizar la sustitución de $A=y+z,B=z+x,C=x+y$ $x,y,z\ge 0$ (si no conocen a este hecho, compruébelo!).
Así que sólo nos queda probar que $\sum_{cyc}\frac{3(z+x)-2(x+y+z)}{y+z}\ge 0$, que es el Lema (en la limpieza de los denominadores positivos).