No puedo dar el salto mental de un vector a una función.

Question

En mi libro de álgebra lineal dice que un vector es linealmente independiente si

$\vec V = c1*\vec T_1 + c2*\vec T_2$

Y a continuación dice que

$y(t) = c1 * e^{-at} + c2*e^{-bt}$

es linealmente independiente

Mi mente no puede comprender cómo se puede hacer una analogía en este caso. ¿Existe algún teorema riguroso que diga que una función es un vector de dimensión infinita? Sólo entonces podré apreciar completamente el álgebra lineal.

Gracias

Answer 1

Parece que está algo confundido sobre el uso de la terminología "vectores". En el contexto mencionado, los vectores son bastante abstracto cosas. De hecho, son son generalización de los conocidos "entes geométricos dotados de magnitud y dirección". Véase la página de Wikipedia sobre Espacio vectorial s , especialmente la sección sobre Espacios funcionales . (Nota: esta respuesta es en parte un dunplicado de Producto interior de funciones como integración ).

Answer 2

Vectores $v_1$ y $v_2$ son linealmente independientes si la única solución de la ecuación $c_1v_1+c_2v_2=0$ es la solución $c_1=c_2=0$ . Las funciones $e^{-at}$ y $e^{-bt}$ son linealmente independientes, cuando se consideran como vectores, porque (suponiendo que $a\ne b$ ) los únicos valores de $c_1$ y $c_2$ en $c_1e^{-at}+c_2e^{-bt}$ idénticamente cero (es decir, cero como función; cero para todos los valores de $t$ ) son $c_1=c_2=0$ .

Answer 3

En pocas palabras, el oficial La definición (Bourbaki) de vector es la siguiente: un vector es un elemento de un espacio vectorial. Por ejemplo, los elementos de $\mathbf{R}^3$ son vectores; pero los elementos de $\mathbf{R}$ espacio vectorial $\mathscr{F}(\mathbf{F},\mathbf{F})$ de todas las funciones (mapas) de $\mathbf{R}$ a $\mathbf{R}$ también son vectores (¡porque son elementos de un espacio vectorial!). Aquí no hace falta un teorema, se trata simplemente de tener el punto de vista adecuado; sólo tienes que asimilar la primera frase de esta respuesta.