Prueba de que $\mathbb{R}^2$ es completa con la métrica $d(x,y) = \min\{\|x-y\|, 1\}$ .

Question

La pregunta es la del título: Prueba de que $\mathbb{R}^2$ es completa con la métrica $$d(x,y) = \min\{\|x-y\|, 1\}.$$

Una forma de hacerlo es demostrar que la métrica es topológicamente equivalente con la métrica normal en $\mathbb{R}^2$ y porque $\mathbb{R}^2$ es completa con la métrica normal, se deduce que $\mathbb{R}^2$ se completa con esta nueva métrica. Pero no sé cómo demostrar que esta métrica es topológicamente equivalente con la métrica normal.

¿O existe tal vez una prueba directa de la completitud de esta métrica?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de elementos de $\mathbb{R}^2$ entonces es una sucesión de Cauchy con respecto a esta métrica si y sólo si es una sucesión de Cauchy con respecto a la métrica usual. Y, si $x\in\mathbb{R}^2$ , $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ con respecto a esta métrica si y sólo si $\lim_{n\to\infty}x_n=x$ con respecto a la métrica habitual. Esto es así porque, si $\varepsilon<1$ afirmando que $d(x,y)<\varepsilon$ significa lo mismo para ambas métricas. Dado que $\mathbb{R}^2$ es completa con respecto a la métrica habitual, también lo es con respecto a ésta.