La prueba más simple de que $\sum 1/p$ crece como $\log \log x$

Question

Estoy buscando recomendaciones para una prueba simple de que $\sum_{p crece como $\log (\log (x))$.

Por simple entiendo adecuado para estudiantes de secundaria o de primer año de universidad, no para aquellos que ya están entrenados en matemáticas.

Idealmente, la prueba comenzaría desde la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann, pero esto no es necesario.

Answer 1

Sin el conocimiento de la suma parcial, simplemente usamos la suma tradicional por partes:

Sea $\pi(x)$ el número de números primos menores o iguales a $x$, así que para todo $n\in\mathbb Z^{>0}$

$$ \pi(n)-\pi(n-1)= \begin{cases} 1 & n\text{ es primo} \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} $$

Aplicando esto a nuestro problema, tenemos

$$ \begin{aligned} \sum_{p\le N}\frac1p &=\sum_{n=1}^N{\pi(n)-\pi(n-1)\over n}={\pi(N)\over N}+\sum_{n=1}^{N-1}{\pi(n)\over n}-\sum_{n=1}^N{\pi(n-1)\over n} \\ &={\pi(N)\over N}+\sum_{n=2}^{N-1}{\pi(n)\over n}-\sum_{n=2}^{N-1}{\pi(n)\over n+1}={\pi(N)\over N}-\sum_{n=2}^{N-1}\pi(n)\left[{1\over n+1}-\frac1n\right] \\ &={\pi(N)\over N}+\sum_{n=2}^{N-1}\pi(n)\int_n^{n+1}{\mathrm dt\over t^2}={\pi(N)\over N}+\int_2^N{\pi(t)\over t^2}\mathrm dt \end{aligned} $$

Sea $N=\lfloor x\rfloor$, entonces

$$ \int_N^x{\pi(t)\over t^2}\mathrm dt=\pi(N)\int_N^x{\mathrm dt\over t^2}={\pi(N)\over N}-{\pi(x)\over x} $$

Como resultado, la fórmula anterior se aplica a todos los $x\in\mathbb R_{>0}$:

$$ \sum_{p\le x}\frac1p={\pi(x)\over x}+\int_2^x{\pi(t)\over t^2}\mathrm dt $$

Por el teorema de los números primos, sabemos que existe una constante positiva $K$ tal que

$$ \left|\pi(x)-{x\over\log x}\right|\le{Kx\over\log^2x} $$

Como resultado, usando la notación de O grande, la expresión anterior se convierte en

$$ \begin{aligned} \sum_{p\le x}\frac1p &={1\over\log x}+\int_2^x{\mathrm dt\over t\log t}+\int_2^x\mathcal O\left(1\over t\log^2t\right)\mathrm dt+\mathcal O\left(1\over\log^2 x\right) \\ &=\log\log x+\mathcal O(1) \end{aligned} $$

Que podemos concluir inmediatamente que el término de error es de $\mathcal O(1)$ principalmente porque es evidente que los otros términos no excederían alguna constante.

P.D. De hecho, un resultado más fuerte, el teorema de Mertens que establece

$$ \sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+B_1+\mathcal O\left(1\over\log x\right) $$

se puede demostrar usando métodos elementales sin el teorema de números primos, pero requerirá más detalles técnicos.

Answer 2

$$(1+O(\frac1{\log n}))n\log n = \log n! = \sum_{p^k \le n} \lfloor n/p^k \rfloor\log p $$ $$= (1+O(\frac1{\log n}))\sum_{p \le n} n \frac{\log p}{p}\tag{1}$$ Seguido de una suma parcial $$\sum_{p\le n} \frac1p = \frac{\sum_{p\le n} \frac{\log p}p}{\log n}+\sum_{m \le n-1} (\sum_{p\le m} \frac{\log p}p) (\frac1{\log m}-\frac1{\log (m+1)})$$ $$ = \frac{(1+O(\frac1{\log n}))\log n}{\log n}+\sum_{m\le n-1}(1+O(\frac1{\log m})) \log m \frac{1+O(\frac1{m})}{m\log^2 m}$$ $$=\log \log n+C+O(\frac1{\log n})$$