Necesito ayuda para repasar este problema porque no estoy del todo seguro de que mi solución sea acertada.
Sea $$\phi:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2},\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \frac{3}{2}x- \frac{1}{2}y \\ -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y \end{pmatrix} $$
a) Demuestre que existe una base $B$ de $\mathbb{R^2}$ tal que la matriz de transformación sea igual a ${^B}A_\phi^B= \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&2 \end{pmatrix}$ .
b) Demuestre que el conjunto $Z= \bigg\{T\in GL_2(\mathbb{R})| \ T \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end {pmatrix}T^{-1} = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&2 \end{pmatrix} \bigg\} $ no está vacío.
c) Demuestre que $\forall \ T\in Z$ y $\forall \lambda\in \mathbb{R}- \{0 \}$ también $ \lambda T \in Z$ es.
d) Para cualquier $T_1,T_2 \in Z$ hace un $\lambda \in \mathbb{R}-\{0\}$ existe tal que $T_2=\lambda T_1 $ ?
Mi trabajo:
a) Sea $B=\{B_1,B_2\}$ sea una base para $\mathbb{R^2}$ con $B_1= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}, B_2= \begin{pmatrix} b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}$ . Encontramos la imagen de $B_1$ y $B_2$ y luego expresarlos en términos de la base con coeficientes reales $p_i,q_i$ .
$$ \phi(B_1)= \begin{pmatrix} \frac{3}{2}b_1-\frac{1}{2}b_2 \\ -\frac{1}{2}b_1+\frac{3}{2}b_2 \end{pmatrix}= p_1\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}+ p_2\begin{pmatrix} b_3 \\ b_4 \end{pmatrix}$$
$$\phi(B_2)= \begin{pmatrix} \frac{3}{2}b_3-\frac{1}{2}b_4 \\ -\frac{1}{2}b_3+\frac{3}{2}b_4 \end{pmatrix}= p_1\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}+ p_2\begin{pmatrix} b_3 \\ b_4 \end{pmatrix} $$
Dado que la matriz de transformación ha sido dada, encontramos los coeficientes de la siguiente manera: $p_1=1,p_2=0,q_1=0,q_2=2$ . Lo que significa simplemente que $\phi(B_1)=B_1, \phi(B_2)=2B_2$ . Entonces simplemente elegí los vectores $\begin{pmatrix} 2\\2 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 2\\-2 \end{pmatrix}$ .
b) Esta pregunta era mucho más fácil y adiviné, correctamente, que la matriz $\begin{pmatrix} 2 &2 \\2&-2 \end{pmatrix}$ era un elemento del conjunto.
En las dos últimas partes de este problema es donde necesito ayuda. He intentado simplemente calcular los resultados de $\lambda T \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end {pmatrix}T^{-1} $ pero se complicó rápidamente y me preguntaba si habría una forma más fácil de mostrarlo.
