Si la distancia más corta entre las líneas oblicuas $AB$ y $CD$ es $8$ hallar el volumen del tetraedro.

Question

Dado un tetraedro $ABCD$ con $D$ en la parte superior y $AB=12,CD=6$ Si la distancia más corta entre las líneas oblicuas $AB$ y $CD$ es $8$ y el ángulo entre ellos es $\frac{\pi}{6}$ encuentra el volumen del tetraedro.

---

Dado que la distancia más corta entre las líneas oblicuas $AB$ y $CD=\frac{\vec{AB}\times\vec{CD}.\vec{AC}}{|\vec{AB}\times\vec{CD}|}=\frac{\vec{AB}\times\vec{CD}.\vec{BD}}{|\vec{AB}\times\vec{CD}|}=8$ (dado)
$|\vec{AB}\times\vec{CD}|=|\vec{AB}||\vec{CD}|\sin\frac{\pi}{6}=36$
Volumen del tetraedro $ABCD=\frac{1}{6}(\vec{AD}\times\vec{BD}).\vec{CD}$

Estoy atascado aquí y no puedo resolver más.La respuesta dada en mi libro es $48$ unidades cúbicas.

Por favor, ayúdame.

Answer 1

Coge dos aviones $P_{AB},P_{CD}$ que cumpla los siguientes requisitos :

• La línea $AB$ existe en $P_{AB}$ .

• La línea $CD$ existe en $P_{CD}$ .

• $P_{AB}$ es paralelo a $P_{CD}$ .

• La distancia entre $P_{AB}$ y $P_{CD}$ es $8$ .

Toma un punto $A'$ en $P_{CD}$ tal que $AB$ es paralelo a $A'C$ y $|AB|=|A'C|$ . Además, toma un punto $D'$ en $P_{AB}$ tal que $CD$ es paralelo a $BD'$ y $|CD|=|BD'|$ .

Ahora $ABD'$ - $A'CD$ es un prisma triangular oblicuo cuyo volumen es $$[\triangle{ABD'}]\times 8=\frac 12\times |AB|\times |CD|\times \sin\frac{\pi}{6}\times 8=144$$

Por lo tanto, el volumen del tetraedro es $$\frac 13\times 144=\color{red}{48}.$$