La definición de entropía en mecánica cuántica

Question

He visto la entropía con varias definiciones diferentes. Como Entropía de Von Neumann y Entropía de Rényi etc.

Tengo curiosidad por saber por qué hay tantas definiciones diferentes en mecánica cuántica y sólo una en mecánica clásica, que lleva el nombre de Boltzmann.

Answer 1

La entropía de von Neumann es el análogo de la entropía de Boltzmann en mecánica cuántica. En realidad, es exactamente lo mismo. Cualquier matriz de densidad $\rho$ puede escribirse como $\rho = \sum_i p_i |i\rangle\langle i|$ donde $p_i = \mbox{probability}(\mbox{state}_i)$ es una distribución de probabilidad sobre los vectores de estado. La entropía de von Neumann es la entropía de Boltzmann de esta distribución. Escribiendo como $Tr(\rho \operatorname{ln} \rho)$ sólo te hace parecer inteligente.

La entropía de Renyi no es específica de la mecánica cuántica. Es un concepto de la teoría de la información y la teoría de la probabilidad, una generalización de la entropía habitual de Boltzmann que permite variar la forma en que los sucesos de baja probabilidad contribuyen a la entropía.

Answer 2

Todas las entropías cuánticas que citas tienen un análogo clásico. Por ejemplo, la entropía de Von Neumann $\langle S \rangle = -k_B \mathrm{Tr} (\hat{\rho} \ln \hat{\rho})$ es la versión cuántica de la entropía de Gibbs $\langle S_\mathrm{cl} \rangle = -k_B \int \mathrm{d}p \mathrm{d}x (\rho \ln \rho)$ utilizado en mecánica estadística clásica. La entropía de Boltzmann es un caso especial de la misma.