Función característica con una función indicadora

Question

Sabemos que $\varphi(t) = \cos{t}$ es una función característica de variable aleatoria de Rademacher. ¿Es la función $\phi(t) = \cos{t} \cdot 1_{|t| \le \pi /2}$ sigue siendo una función característica de alguna variable aleatoria?

Lo único que tenemos que comprobar es si $\phi$ está definida positivamente. He intentado buscar algún ejemplo que la contradiga, pero sin éxito, por lo que sospecho que se trata de una función característica. Cuando escribo la condición de definición positiva de $\phi$ se parece mucho a la condición para $\varphi$ pero con más ceros, pero no puedo deducir nada.

Answer 1

Supongamos que $\phi$ es la transformada de Fourier de una medida finita $\mu$ en $(\mathbb{R},\mathscr{B}(\mathbb{R}))$ . Por inversión de Lévy $$\begin{aligned}\frac{\mu(3)+\mu(5)}{2}+\mu((3,5))&=\int_{[-\pi/2,\pi/2]}\frac{e^{i5\xi}-e^{i3\xi}}{i\xi}\cos(\xi)d\xi\approx -0.18\end{aligned}$$ Pero $\mu(B)\geq 0$ para todo Borel $B$ Así que $\phi$ no es la CF de una medida finita $\mu$ .

Answer 2

Si su función dada $\phi (t) = {\Bbb E}(e^{ i t X})$ es la función característica de una variable aleatoria $X$ cuya densidad de probabilidad es $f(x)dx$ alors $ \phi(t)$ es la transformada de Fourier de $f(x)$ y el extremadamente útil Fórmula de inversión de Fourier nos permite recuperar la función $f(x)$ por la identidad general $$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{t=-\infty}^{t=\infty} e^{- i t x} \phi(t) dt$$ (Véase la nota a pie de página relativa a las convenciones sobre signos).

En su ejemplo, esto se simplifica a $f(x) =\frac{1}{2\pi} \int_{t=-\pi/2}^{t=\pi/2} \ (\cos t ) \ e^{-i t x} dt$ que resulta ser $$f(x)=\frac{ \cos(\pi x/2)}{ \pi ( 1- x^2)}$$

Trazado de la gráfica de $f(x)$ vemos que no siempre es negativo, por lo que $f(x)$ NO es una densidad de probabilidad.

P.D. Wikipedia y muchas otras fuentes utilizan una convención ligeramente diferente para la transformada de Fourier (versión para ingenieros) que baraja la constante $2\pi$ a otros lugares. La versión utilizada anteriormente es la que se utiliza en estadística y en física teórica. Véanse, por ejemplo, las ecuaciones 3 y 4 en la referencia siguiente.

Fórmulas de Fourier del físico

P.P.D. En respuesta a un comentario que plantea una cuestión sutil, quisiera añadir una aclaración.

No hay ninguna suposición a priori de que $X$ tiene una densidad. Dado que $\phi$ tiene soporte compacto no hay duda de que es la transformada de Fourier de una función suave $f(x)$ . Y el teorema de unicidad para las transformadas de Fourier de funciones generalizadas implica que ninguna medida finita $X$ que tenga la misma función característica que este $f(x)$ . Así pues, en última instancia, la cuestión fundamental es si esta función $f(x)$ es no negativo.

La otra función característica mencionada, $\cos t$ no decaía a $\infty$ así que por la contrapositiva del Lema de Riemann-Lebesgue no podría ser la función característica de ninguna función absolutamente integrable. En su lugar es, por supuesto, la transformada de Fourier de un par de funciones delta de Dirac (masas puntuales) que son, por supuesto, funciones generalizadas.