La prueba es más o menos así. Encontrar un valor máximo para $$\frac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2}$$ donde $$a,b,c,d \in \mathbb{R}$$ En su lugar, podemos encontrar un valor máximo $2k$ tal que $$a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2k(ab+bc+cd)$$ $$a^2+b^2+c^2+d^2 - 2k(ab+bc+cd) \geq 0$$ Sea el vector $v = (a, b, c, d)$ . A continuación, escriba la función como $$vM_kv^T \geq 0$$ Donde T es la transposición y $$ M_k = \begin{bmatrix}1 & -k& 0 & 0\\ -k & 1& -k & 0\\ 0& -k& 1& -k\\ 0& 0& -k& 1\end{bmatrix}$$ Lo que equivale a fijar el valor propio mínimo de $M_k$ no sea negativo. Resolviendo para el polinomio característico, $$min(\lambda_k)= 1-k\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} \geq 0$$ Por lo tanto, $$2k \leq \frac{4}{\sqrt{5}+1}$$ $$\Rightarrow \frac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2} \leq \frac{1}{2k}$$ $$max(\frac{ab+bc+cd}{a^2+b^2+c^2+d^2})=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$
Entiendo por qué sustituir $2k$ como variable para encontrar el máximo y obteniendo todo $\geq 0$ . Sin embargo, no entiendo por qué podemos elegir un vector y definirlo como $v = (a, b, c, d)$ y luego traducir esto a una matriz para resolver el máximo. Especialmente no entiendo cómo el valor propio mínimo está relacionado con la respuesta (al menos no realmente). Entiendo que necesitamos que esta matriz sea definida positiva y simétrica para que $vMv^T$ está definido, por lo que (¿supongo?) resolviendo para $k$ sea mayor que $0$ tiene sentido. Después, entiendo las sustituciones y el álgebra para obtener el máximo. Supongo que mis principales preguntas son:
1) ¿Cómo se compone exactamente la matriz dada la definición del vector $v$ ? No entiendo en absoluto el paralelismo entre la función y la matriz. ¿Qué me falta?
2) Quiero decir que entiendo cómo encontrar el polinomio característico y el valor propio mínimo y lo que significan en general (es decir, un valor propio es $Mv = \lambda v$ por lo que la transformación lineal $M$ escala el vector propio correspondiente $v$ por $\lambda$ por lo que permanece en su tramo después de la transformación). No entiendo en absoluto cómo se relaciona esto con la función que compone la matriz, lo cual es probable porque no entiendo cómo se compone la matriz. ¿Estamos tratando de encontrar el valor mínimo $min(\lambda_k)$ que mantiene $M_k$ ortogonales, por lo que en realidad sólo estamos encontrando una cuadrícula mejor para la matriz descrita por la función que conserva su geometría, o algo por el estilo? ¿Qué relación tiene todo esto con el máximo de la función? ¿De qué otra forma podría utilizar este proceso?
