Demostrar que existen constantes $0<A_1<A_2<\infty$ para que $ \frac{A_1}{|x|} \leq u(x) \leq \frac{A_2}{|x|} $ para todos $|x|\geq 2$ .

Question

Sea $f\in C^2_c(B(O,1))$ donde $B(O,1)\subset \mathbb{R}^3$ , $f\geq 0$ y $f=1$ en $B(O,1/2)$ . Sea $u$ sea tal que

\begin{gather*} -\Delta u = f(x) \text{ for } x\in\mathbb{R}^3 \\ u(x)\to 0 \text{ as } |x|\to\infty \end{gather*}

1. Representar a $u$ utilizando la solución fundamental de la ecuación de Laplace.
2. Demostrar que existen constantes $0<A_1<A_2<\infty$ para que $$ \dfrac{A_1}{|x|} \leq u(x) \leq \dfrac{A_2}{|x|} $$ para todos $|x|\geq 2$ .

Sé que la solución fundamental cuando $n=3$ para la ecuación de Poisson (que es la forma no homogénea de la ecuación de Laplace) es $$\Phi(x)=\dfrac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\cdot \dfrac{1}{|x|^{n-2}} =\dfrac{1}{3\cdot 1\cdot \alpha(3)}\cdot \dfrac{1}{|x|} $$ donde $\alpha(3)$ es el volumen de un $3$ dimensión bola.

¿Cómo lo utilizo para representar $u$ como se indica en (1)?

Para (2), ¿debo utilizar la desigualdad de Harnack con $r=A_1$ y $R=A_2$ ?

Answer 1

En solución fundamental de la ecuación de Laplace en $\Bbb R^3$ es la función (distribucional) $\Phi(x, x')$ satisfaciendo

$-\nabla^2 \Phi(x, x') = \delta(x - x'); \tag 1$

viene dado por

$\Phi(x, x') = \dfrac{1}{4\pi \vert x - x' \vert}. \tag 2$

Dada la ecuación

$-\nabla^2 u(x) = f(x), \tag 3$

tenemos

$u(x) = \displaystyle \int_{\Bbb R^3} \Phi(x, x') f(x') \; dx' = \dfrac{1}{4\pi} \int_{\Bbb R^3} \dfrac{f(x')}{\vert x - x' \vert} \; dx'; \tag 4$

para

$f \in C_c^2(B(0, 1)), \tag 5$

el integrando de la integral de la derecha desaparece si $x' \notin B(0, 1)$ Por lo tanto

$u(x) = \displaystyle \dfrac{1}{4\pi} \int_{B(0, 1)} \dfrac{f(x')}{\vert x - x' \vert} \; dx'; \tag 6$

ahora si

$\vert x \vert \ge 2, \; \vert x' \vert < 1, \tag 7$

$ \vert x - x' \vert \le \vert x \vert + \vert x' \vert < 2 \vert x \vert, \tag 8$

$\dfrac{1}{2 \vert x \vert} < \dfrac{1}{\vert x - x' \vert}; \tag 9$

entonces

$\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{1}{2 \vert x \vert} \displaystyle \int_{B(0, 1)} f(x') \; dx' = \dfrac{1}{4\pi} \displaystyle \int_{B(0, 1)} \dfrac{f(x') }{2 \vert x \vert}\; dx' \le \dfrac{1}{4\pi} \displaystyle \int_{B(0, 1)} \dfrac{f(x') }{\vert x - x' \vert}\; dx' = u(x); \tag{10}$

si fijamos

$A_1 = \dfrac{1}{8\pi} \displaystyle \int_{B(0, 1)} f(x') \; dx', \tag{11}$

entonces

$\dfrac{A_1}{\vert x \vert} \le u(x); \tag{12}$

desde $\vert x \vert \ge 2$ , $1 / \vert x \vert \le 1/2$ por lo que también tenemos

$\dfrac{1}{2} \vert x \vert \le \vert x \vert \vert 1 - \dfrac{1}{\vert x \vert} \vert = \vert \vert x \vert - 1 \vert < \vert \vert x \vert - \vert x' \vert \vert < \vert x - x' \vert \tag{13}$

o

$\dfrac{1}{\vert x - x' \vert} < \dfrac{2}{\vert x \vert}, \tag{14}$

de donde

$u(x) = \dfrac{1}{4\pi} \displaystyle \int_{B(0, 1)} \dfrac{f(x') }{\vert x - x' \vert}\; dx' \le \dfrac{1}{4\pi} \displaystyle \int_{B(0, 1)} \dfrac{2f(x') }{\vert x \vert}\; dx' = \dfrac{1}{2\pi} \dfrac{1}{\vert x \vert} \displaystyle \int_{B(0, 1)} f(x') \; dx'; \tag{15}$

tomando

$A_2 = \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle \int_{B(0, 1)} f(x') \; dx', \tag{16}$

tenemos

$u(x) \le \dfrac{A_2}{\vert x \vert}; \tag{17}$

combinando (12) y (17),

$\dfrac{A_1}{\vert x \vert} \le u(x) \le \dfrac{A_2}{\vert x \vert}, \tag{18}$

la estimación necesaria para $u(x)$ , $\vert x \vert \ge 2$ .