Demostrar que el grupo $G$ de orden $|G|=35$ es abeliano

Question

Este es mi esquema de prueba:

1. Por los teoremas de Sylow, $G$ tiene dos subgrupos únicos $H$ y $K$ respectivamente de orden $5$ y orden $7$ y ambos son abelianos; como los grupos de orden primo son abelianos
2. A continuación utilizo el argumento del recuento para decir: Tomando cualquier $x\in{H}$ y $y\in{K}$ tal que $x,y\notin{e}$ tendré más número de pares ordenados que el resto de elementos en $G$ (es decir $35-5-7+1=24$ ) ( $e$ es común a ambos por lo que $+1$ )
3. Así, hay combinaciones que son iguales; lo que implica $x$ y $y$ conmutan; pero ¿cómo puedo demostrar que incluso los demás elementos conmutan? Por favor, ayúdame a demostrarlo.

Answer 1

Sea $h\in H, k\in K, [h,k]=hkh^{-1}k^{-1}=(hkh^{-1})k^{-1}=h(kh^{-1}k^{-1})$ está en $H\cap K$ desde $H$ y $K$ son subgrupos normales, su orden divide a $5$ y $7$ por lo tanto, es $1$ .

Answer 2

Si $|G|=35$ entonces todos sus elementos deben tener orden $1,5,7$ ou $35$ por Lagrange.

Los teoremas de Sylow muestran que tenemos un subgrupo $H$ de orden $5$ y un subgrupo $K$ de orden $7$ . Por lo tanto, tenemos $6$ elementos de orden $7$ y $4$ elementos de orden $5$ .

Así que, contando, $35 - 4 - 6 - 1 = 24$ elementos de $G$ debe tener orden $35$ alors $G$ es cíclico, por lo tanto es abeliano.

Answer 3

Parece que te has dado cuenta de que quedan 24 elementos con orden no $1,5,7$ . Eso implica que los elementos restantes deben tener orden 35 (por Lagrange, supongo).

Pero si $G$ tiene un elemento de orden $35$ alors $G$ es isomorfo al grupo cíclico $C_{35}$ . Obsérvese que los grupos cíclicos son abelianos.