Números primos y ecuaciones elípticas

Question

Me encontré con una ecuación elíptica de la forma $y^2 = x^3 + p^2$ en $p$ primo, y tomando $p \neq 3$ Quiero entender mejor por qué no hay un punto racional $x$ para $y = 3p$ o $y = 3p^2$ tal que:

$$y^2 = x^3 + p^2$$

Quiero saber en términos de enfoque de clases de equivalencia también si es posible.

Answer 1

Sea $y^2 = x^3 + p^2$ ;

• toma $y=3p$ en la ecuación; $9p^2 = x^3 + p^2$ entonces $x^3 = 8p^2$ toma la raíz cúbica; $x=2\sqrt[3]{p^2}$ Esto implica que no existe una solución racional.

• toma $y=3p^2$ en la ecuación; $9p^4 = x^3 - p^2$ entonces tenemos $$x^3 - (9p^4 + p^2)$$ Mira el discrimant $\Delta_x = -27 (9p^4-p^2)^2$ . Es negativo, por lo tanto, uno real dos raíces complejas. Las raíces complejas no pueden ser una solución. La raíz real es $p^{2/3}\sqrt[3]{9p^2-1}$ . Esto concluye que aquí tampoco hay una solución racional.