Sea $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ , $(x_n)\subset\mathbb{R}^d$ y $x\in\mathbb{R}^d$ sea tal que $x_n\to x$ en $\mathbb{R}^d$ donde $\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ denota el espacio lineal de funciones suaves compactamente soportadas. Necesito demostrar que $$\varphi(\cdot-x_n)\to \varphi(\cdot-x) \quad \text{in } \mathcal{D}(\mathbb{R}^d).$$
Mi intento. En primer lugar, definimos $$\psi_n(y)=\varphi(y-x_n),\qquad \psi(y)=\varphi(y-x).$$
En primer lugar, construiré un compacto tal que $\text{supp}\psi_n$ y $\text{supp}\psi$ están incrustados en ella.
Desde $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^d)$ existe un $K$ tal que $\text{supp}\varphi\subset K$ y, dado que $x_n\to x$ existe $R>0$ tal que $x_n\subset B(x,R)$ para todos $n$ . Por lo tanto,
$$\psi_n(y)\neq 0 \Leftrightarrow \varphi(y-x_n)\neq0 \Leftrightarrow y\in x_n+\{\xi\in\mathbb{R}^d : \varphi(\xi)\neq0\}.$$
Así, $$\{y\in\mathbb{R^d} : \psi_n(y)\neq0\} = x_n + \{\xi\in\mathbb{R}^d : \varphi(\xi)\neq0\} \subset B(x,R)+K \Rightarrow \text{supp}\psi_n\subset K',$$ donde $K'=\overline{B(x,R)+K}$ es una compacta (cerrada y acotada). Análogamente, $\text{supp}\psi\subset K'$ .
Sólo queda por demostrar que, para cualquier multiíndice $\alpha$ , $$\lim_{n\to\infty} \max_{y\in K'} |\partial^\alpha\psi_n(y) - \partial^\alpha\psi(y)| = 0.$$
Dado cualquier $y\in K'$ ya que $x_n\to x$ y $\partial^\alpha\varphi(y-\cdot)$ es continua, es fácil deducir que $$|\partial^\alpha\psi_n(y) - \partial^\alpha\psi(y)| = |\partial^\alpha\varphi(y-x_n) - \partial^\alpha\varphi(y-x)| \to 0 \text { as } n\to\infty.$$
Pero esto no es suficiente para concluir lo que necesito, ya que lo anterior es una convergencia puntual en $K'$ y el resultado deseado es una convergencia uniforme en $K'$ y no sé cómo conseguir lo que quiero. Les agradecería cualquier ayuda que me puedan prestar.
