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Demostrar la irreductibilidad de $X^{2p}+pX^n-1$ en $\mathbb{Z}[X]$

A continuación se presenta un ejercicio de Victor V. Prasolov Polinomios (Segunda edición, Página nº. $74$ Ejercicio $2.10$ )

Problema: Sea $p>3$ sea un primo y $n<2p$ un número natural. Demostrar que $$P(X)=X^{2p}+pX^n-1$$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[X]$ .

Mi enfoque: Supongamos, si es posible, que $P=fg$ para $2$ polinomios $f,g\in\mathbb{Z}[X]$ con $\deg(f),\deg(g)\geq1$ . Para un polinomio $q\in\mathbb{Z}[X]$ deje $\overline{q}$ denota su reducción módulo $p$ . Entonces $$\overline{P}=X^{2p}-1=(X^p+1)(X^p-1)=(X+1)^p(X-1)^p$$ Por lo tanto $\overline{f}\overline{g}=(X-1)^p(X+1)^p$ .

Edita: Según la solución de @WhatsUp debemos tener $\overline{f}=X^p+1,\overline{g}=X^p-1$ (o viceversa).

Actualización: Entonces tenemos $f(X)=X^p+1+pF(X)$ y $g(X)=X^p-1+pG(X)$ para algunos $F,G\in\mathbb{Z}[X]$ . Desde $\deg(f)+\deg(g)=\deg(P)=2p$ y $P$ es mónico y $X^n$ tiene coeficiente $p$ y todos los demás coeficientes son $0$ debemos tener $\deg(F),\deg(G)\leq p-1$ . Si $F,G$ fueran ambas distintas de cero, entonces igualando $P$ y $fg$ tenemos $$(G(X)-F(X))+X^p(G(X)+F(X))+pG(X)F(X)=X^n$$ Por lo tanto, puesto que $p>3$ es un primo impar, que se evalúa en $X=1$ obtenemos $$G(1)(2+pF(1))=1$$ Es decir $$pF(1)=\pm1-2$$ equivalentemente, $pF(1)=-3$ o $pF(1)=-1$ . Esto último no es posible. Para el primer caso debemos tener $p=3$ pero $p>3$ se da.

Una contradicción en todos los casos ya que $G(1),f(1)\in\mathbb{Z}$ y $p>3$ ¡es un primo impar!

Entonces uno de $F,G$ debe ser el $0$ polinomio. Sea $F\equiv0$ . Sea $G$ sea un polinomio distinto de cero. Entonces tenemos $$X^{2p}+pX^n-1=(X^p+1)(X^p-1+pG(X))=X^{2p}-1+pX^pG(X)+pG(X)$$ Es decir $$pX^pG(X)-pG(X)=pX^n\implies X^pG(X)-G(X)=X^p\implies G(X)(X^p-1)=X^n$$ lo que implica $0=G(1)(1^p-1)=1^n=1$ ¡Una contradicción! Por lo tanto $F,G$ no puede existir. De nuevo $(X^p+1)(X^p-1)\neq P(X)$ . Entonces $P$ no puede factorizarse sobre $\mathbb{Z}[X]$ o equivalentemente $P$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[X]$ .

¿Es correcto este argumento? ¿Puede alguien decirme si esta prueba es correcta o incorrecta?

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WhatsUp Puntos 118

Para justificar su argumento, mostraré que debemos tener $\overline f = X^p + 1$ , $\overline g = X^p - 1$ o viceversa.

Supongamos que no es así. Entonces $X + 1$ o $X - 1$ dividiría ambos $\overline f$ y $\overline g$ .

Digamos que $X - 1$ divide a ambos (el otro caso es similar).

Esto significa que $p\mid f(1)$ y $p\mid g(1)$ Por lo tanto $p^2 \mid f(1)g(1) = P(1)$ .

Pero tenemos $P(1) = p$ una contradicción.


Para continuar con el argumento, dejemos que $F, G$ ser como en su puesto. Así tenemos $$X^{2p} + pX^n - 1 = (X^p + 1 + pF)(X^p - 1 + pG).$$ Esto conduce a $$(X^p - 1)F + (X^p + 1)G + pFG = X^n.$$

Ahora conecte $X = 1$ obtenemos $(2 + pF(1))G(1) = 1$ lo que significa $2 + pF(1)$ debe ser $1$ o $-1$ .

Por lo tanto $pF(1)$ debe ser $-1$ o $-3$ . Esto sólo es posible para $p = 3$ que comprobamos manualmente.

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