William Rowan Hamilton y el álgebra como tiempo

Question

Esta pregunta acabó siendo más larga de lo que pretendía (aunque la mayor parte son interesantes observaciones de Hamilton), así que pensé que sería bueno incluir mi pregunta al principio, antes de los antecedentes, ciertamente largos:

Pregunta: ¿Por qué Hamilton consideraba que la parte escalar de un cuaternión representaba el tiempo? ¿Admite el punto de vista moderno de los cuaterniones en física una interpretación que incluya el tiempo pero que no requiera la relatividad y pensamientos afines como requisito previo?

Antecedentes: Me parece muy adelantado a su tiempo que Hamilton prefiriera pensar, o tal vez insistiera en pensar, en el álgebra como el estudio de una variable temporal. De hecho, aunque no soy historiador de las matemáticas, según mi lectura, Hamilton se siente bastante incómodo con la relativamente reciente difusión de la abstracción en el álgebra, especialmente en términos de números imaginarios. Se lamenta del abismo que existe entre esta abstracción y la firmeza de la ciencia:

Sin embargo, se podría sentir un pesar natural, si tal fuera el destino del Álgebra; si un estudio, que está continuamente ocupando a los matemáticos más y más, y casi ha reemplazado el Estudio de la Ciencia Geométrica, se encontrara al final que no es, en ningún sentido estricto o apropiado, el Estudio de una Ciencia en absoluto....

...y más tarde...

El autor reconoce con placer que está de acuerdo con M. Cauchy, en considerar cada (llamada) Ecuación Imaginaria como una representación simbólica de dos Ecuaciones Reales separadas: pero difiere de ese excelente matemático en su método en general, y especialmente en no introducir el signo $\sqrt{-1}$ hasta que le haya proporcionado, mediante su Teoría de las Parejas, un significado posible y real, como símbolo de la pareja (0, 1).

Como solución a su dilema, Hamilton postula que la interpretación del álgebra como estudio del tiempo es la forma de fundamentar científicamente el álgebra con números imaginarios, escribiendo:

Es la genialidad del Álgebra considerar lo que razona como fluido, como fue el genio de la Geometría considerar fijo lo que razonaba.

En su tratado sobre el tema: "Theory of Conjugate Functions, or Algebraic Couples; with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as The Science of Pure Time", desarrolla una enorme cantidad de álgebra básica (desde la suma y el orden hasta las formas indeterminadas y la exponenciación) a través de esta lente. La parte pegajosa es que no parece (para mí, al menos) resolver la cuestión en cuestión; la de proporcionar una formulación intuitiva del álgebra en la que uno pueda relacionar el tiempo y los números imaginarios, al menos más allá de la teoría de las parejas de Cauchy a la que se hace referencia más arriba. Sin embargo, él mismo se declara victorioso al respecto, escribiendo que esta "Teoría de las parejas se publica para poner de manifiesto ese sentido oculto". Se queda tan prendado de este punto de vista que más tarde interpreta los cuaterniones como un "escalar más vector" como un elemento "tiempo más espacio" del espaciotiempo:

Se dice que el tiempo sólo tiene una dimensión y que el espacio tiene tres. [ ] El cuaternión matemático participa de estos dos elementos; en lenguaje técnico puede decirse que es "tiempo más espacio", o "espacio más tiempo": y en este sentido tiene, o al menos implica una referencia a, cuatro dimensiones.

Desde Einstein y Minkowski (y otros), es bastante común pensar en términos de espaciotiempo (y de hecho el concepto parece remontarse a d'Alembert en 1754), pero sin la relatividad/ métrica de Lorenz/etc. a nuestra disposición, es sorprendente lo dedicado que estaba Hamilton al punto de vista de relacionar el tiempo y las cantidades imaginarias.

Pregunta (redux): En realidad, la base de esta cuestión es la interpretación sorprendentemente moderna de Hamilton de la parte escalar de un cuaternión como representación del tiempo. ¿Por qué lo hizo? ¿Admite el punto de vista moderno de los cuaterniones en física una interpretación que incluya el tiempo pero que no requiera la relatividad y pensamientos relacionados como requisito previo?

Answer 1

Creo que puede haber estado influido por Kant. Según una cita de este sitio web : "Kant sostiene que la geometría descubre las leyes universales del espacio, y el álgebra descubre las leyes universales del tiempo. El espacio y el tiempo son "intuiciones puras" mediante las cuales puede tener lugar la percepción, por lo que son a priori y universales."

Answer 2

Hamilton había emprendido este camino tan abstracto de demostrar que la geometría describía el espacio y el álgebra el tiempo, pero se vio obligado a abandonarlo después de darse cuenta de que no podía funcionar. Entonces se sintió atraído por la noción del álgebra como lenguaje, y más concretamente como sistema de símbolos. Si sigue leyendo en la fuente de esa cita sobre "espacio más tiempo" resume toda la idea con este pareado:

Y cómo el Uno del Tiempo, del Espacio los Tres,
Poder en la Cadena de Símbolo ceñido ser.

Pensaba que la parte escalar del cuaternión y la parte "vectorial" estaban relacionadas, pero separar símbolos, del mismo modo que consideraba que la geometría y el álgebra estaban relacionadas pero separadas. No las unificaba.

Así pues, me parece que esta cuestión descansa sobre dos nociones erróneas. En primer lugar, no da suficiente crédito a la larga historia de la dinámica y el tratamiento del espacio y el tiempo en similar (aunque no precisamente iguales), o incluso el importante lugar que ocupa Hamilton en esa historia. En segundo lugar, da demasiado crédito al hecho de que los componentes separados de un cuaternión están todos unidos en un único objeto, mientras que ignora el hecho de que son fundamentalmente diferentes tipos de elementos dentro de ese objeto. Es decir, Hamilton intentaba establecer paralelismos entre el espacio y el tiempo, pero seguía tratando claramente de mantenerlos separados. Así que argumentaré que la interpretación de Hamilton es en realidad no sorprendentemente moderno, porque no era unificar espacio y tiempo. En cuanto a su lugar en la física moderna, creo que esta respuesta en physics.se lo explica con bastante detalle.

Aunque Einstein y Minkowski consideraron que el espacio y el tiempo eran cuatridimensionales, esto no fue así. no una innovación que ellos introdujeron; ya tenía una larga historia en la física. En cambio, su innovación consistió en unificar espacio y el tiempo, para que puedan transformarse unos en otros a través de lo que ahora llamamos un Transformación de Lorentz . (1) Antes de ellos (y de Poincaré, Lorentz y tal vez incluso FitzGerald), el espacio y el tiempo siempre se mantuvieron bastante diferenciados; podían considerarse al mismo tiempo, pero nunca se mezclarían. Así que podemos distinguir entre los antiguos en paralelo tratamiento del espacio y el tiempo, a diferencia del moderno unificado tratamiento del espaciotiempo.

Y esta combinación restringida ya tenía una larga historia, empezando al menos por Descartes, que trataba el tiempo con sus "duraciones" del mismo modo que el espacio con sus "extensiones", que son nociones que ahora llamamos dimensiones. Por supuesto, Newton, Kepler, Galileo (y seguramente la lista continúa) utilizaron cuatro coordenadas para el espacio y el tiempo. El comentario de KConrad señala que d'Alembert ya había sido bastante explícito a la hora de combinar el espacio y el tiempo en cuatro dimensiones, e incluso de tomar su producto, lo cual tiene sentido puesto que su operador los combina como en $\partial_t^2 - \partial_x^2 - \partial_y^2 - \partial_z^2$ . Pero, por supuesto, Lagrange es el que ahora consideramos como la influencia más directa de Hamilton. (2) Y Mecánica lagrangiana son muy parecidos a Los propios mecánicos de Hamilton en el sentido de que tratan de la relación entre la evolución a través del tiempo y el espacio.

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(1) Tenga en cuenta que Lorenz y Lorentz son dos personas diferentes. Aunque ambos nombres aparecen en la relatividad y campos estrechamente relacionados. Lorentz es el que se quiere asociar con la métrica.

(2) Eso no es discutir la afirmación de Kristal de que Kant influyó en Hamilton - su ensayo "El tiempo puro" parece un generador de textos alimentado con la Crítica de la razón pura. Pero Kant no combinaba en modo alguno ambas cosas, ni mucho menos las unificaba. Hasta donde yo sé, la razón por la que Kant hablaba de ambos de ellos era porque los consideraba distintos .