¿Cómo se corresponde específicamente este problema con un problema de valores propios generalizado?

Question

Dadas dos matrices cuadradas simétricas $A,B \in \mathbb R^{n\times n}$ y una matriz rectangular $W\in \mathbb R^{n,k}$ . Quiero maximizar

$$\max_{W} \frac{\det (W^TAW)}{\det(W^TBW)}.$$

He leído que el $W$ que lo maximiza consiste en los vectores propios generalizados que corresponden al mayor valor propio en $$Aw_i=\lambda_iBw_i.$$

Sé que esto es cierto si queremos maximizar $\frac{w^TAw}{w^TBw}$ , $w \in \mathbb R^n$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo se corresponde esto con el primer problema de optimización en el que tenemos una matriz rectangular $W$ y el determinante implicado. ¿Hay alguna manera de ver esto?

Answer 1

Según cálculo matricial la derivada de lo que se quiere maximizar con respecto a $W$ es

$$ \frac{2 |W^TAW| |W^TBW| \left( AW (W^TAW)^{-1} - BW (W^TBW)^{-1} \right)}{|W^TBW|^2} = 0 $$ donde $|\cdot|$ representa el determinante. Por lo tanto, se necesita

$$ AW = BW (W^TBW)^{-1} (W^TAW) $$

Es fácil ver que la solución satisface $AW = BWX$ para algunos $X \in \mathbb{R}^{k \times k}$ y también

$$ \frac{|W^TAW|}{|W^TBW|} = |X| $$

Como el determinante es el producto de los valores propios, se obtiene el resultado.

Sin embargo, hay que tener en cuenta el signo de los valores propios. Por ejemplo, si los valores propios son $-1, -2, 1$ . Para $k = 1$ el maximizador es $w_3$ mientras que para $k=2$ , $W=[w_1 ~~ w_2]$ es el maximizador.

Edita: La ecuación específica en la wiki de cálculo matricial está en la tabla "Identidades: escalar por matriz" una anterior de la última fila: "A no es una función de X, X no es cuadrada, A es simétrica".

Si $AW=BWX$ entonces

$$\begin{align} AW &= BW (W^TBW)^{-1} (W^TAW)\\ &= BW (W^TBW)^{-1} (W^TBW)X\\ &= BWX \end{align}$$

Sea $X = T \tilde{X} T^{-1}$ entonces $$\begin{align} AW &= BW X\\ AW &= BW T \tilde{X} T^{-1}\\ AWT &= BW T \tilde{X}\\ A \tilde{W} &= B \tilde{W} \tilde{X} \end{align}$$

donde $\tilde{W} := WT$ . Por lo tanto, sin perder generalidad, podemos suponer que $X$ está en la forma normal de Jordan. En particular, si $X$ es diagonal, entonces sus elementos corresponden a los valores propios generalizados de $(A,B)$ . Por lo tanto, la maximización del determinante se puede hacer mediante la selección de los valores propios que tiene el máximo valor de multiplicación. (Si $X$ es triangular superior, entonces sus elementos diagonales corresponden a los valores propios).