¿Dudas sobre el funcionamiento de las funciones generadoras?

Question

Estoy leyendo el de Martin: El arte de la combinatoria enumerativa .

Con:

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad $

Hay dos cosas que me resultan misteriosas:

1. Por qué el proceso de conversión $(1+z+z^2+\cdots )^5$ à $\displaystyle \left[ \frac{(1-z^{11})}{(1-z)} \right]$ a $\displaystyle [1-z^{11}]^5 \left[\frac{1}{1-z} \right]^5$ funciona cuando tomamos todos los coeficientes $a_n,a_m$ tal que $m+n=40$ ? Esto es probablemente lo mejor que puedo explicar mi duda, pero me sigue pareciendo un poco misterioso.

2. No entiendo por qué:

$\quad \quad \quad \quad \quad \quad $

Debería ser la suma de cuatro términos, pero aquí sólo hay 3 términos. Sé que podría haberlo reescrito de otra manera, pero no veo cuál es.

Answer 1

Anuncio 1: Ampliar $(1+z+\ldots+z^{10})^5$ requiere la fórmula multinomial, con un lío de términos sobre los que no tenemos visión de conjunto. Pero $(1-z^{11})^5$ y $(1-z)^{-1}$ se pueden abordar con la fórmula binómica (una simple suma cada uno), y queda emparejar los términos cuyos exponentes suman $40$ .

Anuncio 2: Es una errata. Quería decir $$-{5\choose 1}\left\langle\matrix{5\cr 29\cr}\right\rangle+{5\choose 2}\left\langle\matrix{5\cr 18\cr}\right\rangle\ .$$

Answer 2

(1) Escribimos $\left(\sum_{k=0}^{10} z^k\right)^5$ como $\sum_{k=0}^\infty a_k z^k$ y desea calcular el $a_k$ . Hacemos lo siguiente \begin{align*} \sum_{k=0}^\infty a_k z^k &= \left(\sum_{k=0}^{10} z^k\right)^5\\ &= \frac{1}{(1-z)^5} \cdot (1- z^{11})^5\\ &= \sum_{j = 0}^\infty \left<{5\atop j}\right> z^j \cdot \sum_{i=0}^5 (-1)^i \binom 5i z^{11i} \\ &=: \sum_{j=0}^\infty b_j z^j \cdot \sum_{j=0}^\infty c_j z^j\\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{n+m = k} b_n c_m \cdot z^k \end{align*} Por lo tanto (como los coeficientes de una serie de potencias se determinan de forma única) debemos tener $$ a_k = \sum_{n+m = k} b_n c_m $$ para todos $k$ especialmente para $k = 40$ que da $$ a_{40} = \sum_{n+m = 40} b_n c_m $$ Ahora $c_m = 0$ para $m \not\in \{0, 11, 22, 33, 44, 55\}$ Por lo tanto $$ a_{40} = b_{40}c_0 + b_{29}c_{11} + b_{18}c_{22} + b_{7}c_{33} $$

(2) Es una errata, hay un " $-$ " desaparecido.