Un conjunto que puede ser cubierto por intervalos arbitrariamente pequeños

Question

Sea $X$ sea un subconjunto de la recta real y $S=\{s_i\}$ una secuencia infinita de números positivos. Digamos que $X$ es $S$ - pequeño si existe una colección $\{I_i\}$ de intervalos tal que la longitud de cada $I_i$ es igual a $s_i$ y la unión $\bigcup I_i$ contiene $X$ . Y $X$ se dice pequeño si es $S$ -pequeña para cualquier secuencia $S$ .

Obviamente todo conjunto contable es pequeño. ¿Existen conjuntos pequeños incontables?

Algunas observaciones:

• Un conjunto de dimensión Hausdorff positiva no puede ser pequeño.

• Además, un conjunto pequeño no puede contener un subconjunto compacto incontable.

Answer 1

Los conjuntos que está llamando pequeño se denominan comúnmente en la literatura "conjuntos de medida fuerte cero". La conjetura de Borel es la afirmación de que cualquier conjunto de medida fuerte cero es contable.

Esto es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, los conjuntos de Luzin son de medida fuerte cero; si se cumple MA (axioma de Martin), entonces hay conjuntos de medida fuerte cero de tamaño continuo. De hecho, tanto CH como ${\mathfrak b}=\aleph_1$ contradicen la conjetura de Borel.

Sin embargo, la conjetura de Borel es consistente. Esto fue demostrado por primera vez por Laver, en 1976; en su modelo el continuo tiene tamaño $\aleph_2$ . Más tarde, se observó (por Woodin, creo) que la adición de reales aleatorios a un modelo de la conjetura de Borel, preserva la conjetura de Borel, por lo que el tamaño del continuo puede ser tan grande como se desee.

Todo esto se describe con mucho cuidado en el capítulo 8 del libro "Set Theory: On the Structure of the Real Line" de Tomek Bartoszynski y Haim Judah, AK Peters (1995).

Answer 2

El problema también fue estudiado por Besicovitch desde el punto de vista de la teoría de la medida geométrica en la década de 1930. En particular, Besicovitch estaba motivado por el problema de determinar los conjuntos de reales en los que la variación de cualquier función continua monótona desaparece. Demostró que suponiendo CH existe un conjunto incontable de reales que tiene medida fuerte cero (véase "Conjuntos de puntos concentrados y rarificados" , Acta Mathematica (1934), Vol. 62, pp. 289-300); doi: 10.1007/BF02393607 .

Besicovitch construyó lo que llamó un conjunto concentrado (un conjunto incontable de reales $E$ se dice que está concentrado en un conjunto contable $H$ si para cualquier conjunto abierto $U$ si $H \subset U$ entonces $E \setminus U$ es contable). Los conjuntos concentrados de Besicovitch pueden considerarse un análogo teórico de la medida más débil de Conjuntos Lusin .

Las primeras etapas de la teoría de los conjuntos de medida fuerte cero se resumen en la monografía de Sierpinski Hipótesis continua . Sierpinski se refiere a estos objetos como conjuntos que satisfacen Propiedad C (véase la definición en la p. 37).

[EDIT. Sorprendentemente, el trabajo de Besicovitch y Sierpinski sobre los conjuntos de medida fuerte cero no se menciona en absoluto en el libro recomendado por Andrés. El desarrollo histórico de la teoría se discute en detalle en el artículo de estudio fundamental "Historia del continuo en el siglo XX" por Steprans]. ( Wayback Machine )