La definición de un conjunto abierto que veo en la mayoría de los topología de textos(como los encontrados en la Topología por Munkres y otro con el mismo título por Hocking & Young, o Topología Básica por Armstrong) es que un conjunto S es abrir el fib es un barrio de todos sus puntos. Pero la definición de una vecindad de un punto $x$, $N(x)$, es que hay un abrir subconjunto $U$ $N$ contiene $x$. Ahora si $X$ es un espacio topológico con una métrica de la función $d$, entonces el no-vacío subconjunto $S$ es abrir el fib $\;\forall x\in S,\;\exists\epsilon>0$ tal que $B=\{y \in X \mid d(x,y)<\epsilon\}\subset S$. Pero, ¿cómo podemos generalizar esta definición, de modo que podemos definir barrios abierta establece en no metrizeable espacios demasiado?
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En topología general no hay una definición de lo que es un conjunto abierto en términos de otra cosa. En su lugar, el abrir los conjuntos son precisamente lo que constituye la topología. Así, un espacio topológico es un par $(X,\tau)$ donde $X$ es un conjunto y $\tau$ es una colección de subconjuntos de a $X$ que satisfacen los axiomas que: la intersección de cualquier número finito de conjuntos de $\tau$ está de nuevo en $\tau$ (en otras palabras: $\tau$ es cerrado bajo intersección finita) y la unión de cualquier colección de elementos de $\tau$ está de nuevo en $\tau$ (en otras palabras, $\tau$ es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos). (Tenga en cuenta que la intersección es vacía $X$ y el vacío de la unión es $\emptyset$, por lo que, en particular, $\emptyset$ $X$ son elementos en $\tau$).
Esta es la definición de un espacio topológico. Ahora, en ese contexto, los elementos de $\tau$ dijo estar abierto conjuntos. Cualquier subconjunto $Y\subseteq X$ que no está en $\tau$ se dice que no se abra. Un subconjunto $C\subseteq X$ dijo estar cerrado precisamente al $X-C$ es abierta, es decir, cuando se $X-C\in \tau $.
Así, en el contexto de un general topológica del espacio, que no tiene ningún sentido, a la pregunta "¿cuál es la definición de los bloques abiertos", simplemente porque no existe tal definición. Sin embargo, si usted comienza con un espacio métrico $(X,d)$, entonces usted puede definir un conjunto $A\subseteq X$ ($A$ puede estar vacío!) para ser abierto, precisamente, cuando para todos los $a\in A$ existe $\epsilon >0$ tal que para todos los $x\in X$ si $d(x,a)<\epsilon$$x\in A$. Entonces, uno puede mostrar que la colección de todos los conjuntos en un espacio métrico forma una topología. Así, con cualquier espacio métrico no se asocia a un canónica de la topología. Esta construcción es la principal razón por la terminología empleada (al menos en las primeras páginas) de la mayoría de los textos sobre la topología.
El punto es que en la métrica de los espacios donde tenemos una noción de distancia que puede de hecho hacer que precisa la noción de "todos los puntos que están a menos de $\epsilon$ de algún otro punto" utilizando el concepto de la pelota. Un conjunto abierto, entonces es un conjunto en el que todos los puntos pueden ser rodeado por algunos de abrir bola totalmente contenida en el conjunto, por lo que usted ha hecho precisa la noción de un conjunto donde cada uno de sus puntos tiene todos sus puntos vecinos sin embargo, en el conjunto.
El punto es que al estudio de la métrica de los espacios a pesar de que el uso de una métrica para definir el abierto de los conjuntos de pronto ver que muchos resultados importantes se puede hablar sólo en términos de bloques abiertos. Los reuslts no dependen de la noción de distancia en sí, sino que, por el hecho de que hemos sido capaces de formular la idea de "lo suficientemente cerca de un punto", que es precisamente la noción de apertura.
Así que usted piensa: "espera un momento, si puedo generalizar la noción de opennes a cualquier conjunto, entonces voy a ser capaz de llevar a los resultados" y, a continuación, empezar a pensar en cómo vas a hacer esto. Lo que hacemos entonces es el mismo que hacemos todo el tiempo en las matemáticas: se define algo en un contexto particular, vemos la utilidad y queremos generalizar, por lo que buscamos axiomas que puede ser utilizado como la base para una definición que será mucho más general. Un ejemplo de que casi todo el mundo está familiarizado con: esto es lo que hacemos en álgebra lineal, vemos linealidad todos los rodeaban, así que, simplemente, buscar las propiedades que otorgan a la linealidad y promueven a los axiomas y definir un espacio lineal
Sucede entonces que sólo hay tres propiedades de abrir establece que son realmente fundamentales y estas propiedades son:
- Si usted tiene una colección de infinito abrir sets, entonces, que su sindicato está todavía abierto.
- Si usted tiene una colección de sólo finita abrir conjuntos de entonces su intersección es todavía abierto.
- El conjunto sobre el que estamos trabajando es tan abierto y tan es el conjunto vacío.
Todas estas propiedades son fácilmente demostrado al definir abrir conjuntos de métricas espacios de utilizar las bolas. Y como se puede ver las propiedades son las que permite que todas sus enfriar los resultados de la métrica de los espacios de crear la noción de una colección de conjuntos con estas propiedades:
Definición: Dejar $X$ ser un conjunto, una topología $\tau$ $X$ es una colección de subconjuntos de a $X$ tal forma que:
- $\tau$ es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos.
- $\tau$ es cerrado bajo intersecciones finitas.
- $X \in \tau$ $\emptyset \in \tau$
Ahora usted tiene un conjunto y una topología en el set y llamar a los conjuntos de la topología de abrir conjuntos de $X$ y llamar a $(X,\tau)$ un espacio topológico. Ahora los importantes resultados de la métrica de los espacios que quería generalizar será posible generalizar en este marco donde se postulan los bloques abiertos. No es que usted tiene un conjunto y encontrar el abierto de conjuntos, es solo que si se le presenta una colección de subconjuntos de a $X$ la satisfacción de las propiedades $1$, $2$ y $3$, entonces los conjuntos serán capaces de formular una noción de apertura para $X$.
De nuevo, me voy a comparar con álgebra lineal porque álgebra lineal es algo que muchas personas se sienten cómodas con: se tiene un conjunto $V$, luego de hacer un espacio vectorial y tiene el fresco de las propiedades de linealidad sólo tiene que seleccionar dos operaciones. Si los axiomas son satisfechos de que está bien.
Es lo mismo aquí, es usted quien tiene que presentar el abierto de conjuntos. En particular, si $(M,d)$ es un espacio métrico, su mejor purposal es decir que los bloques abiertos son aquellos tales que cada punto tiene un balón incluidos en el juego, entonces usted ve que las propiedades y estás bien.
Edit: Como se señaló en el comentario, lo que me escribió pueden llevar a alguien a pensar que todo lo que uno puede hacer en un espacio métrico también se puede hacer en un espacio topológico. Eso no es cierto, como he dicho: "usted puede transferir fresco resultados de la métrica de espacios", por lo que, de hecho, no se puede conceder simplemente todo acaba con una topología, sin embargo, esas cosas completamente especificado por relaciones utilizando los conjuntos (como la noción de compacidad que puede ser expresada en términos de abra las cubiertas) puede ser llevado a espacios topológicos.
Se puede definir la topología que viene de una métrica, y uno puede definida la topología que viene de un orden lineal, y se puede definir la topología que proviene de cualquiera de un número de otros tipos de estructuras, y en cada caso, uno puede comprobar que son las topologías en el sentido de que los sindicatos arbitraria de conjuntos abiertos conjuntos son abiertos y las intersecciones de conjuntos finitos de abrir los conjuntos son abiertos. (Uno puede tomar la intersección de un conjunto vacío de abrir los conjuntos de todo el espacio, y la unión de vacío.)
Pero, en general, un conjunto abierto es un conjunto abierto en algunos topología particular, y una topología en un conjunto es cualquier colección de subconjuntos de un conjunto que satisface la definición. Para una definición de la clase que usted busca no existe.
Permítanme darles análogas a las definiciones generales de espacios topológicos.
Dado un conjunto no vacío $X$, una topología en $X$ es un conjunto $\mathcal T$ de los subconjuntos de a $X$ tal forma que:
(1) $\emptyset,X\in\mathcal T$,
(2) si $\mathcal A\subseteq\mathcal T$$\bigcup\mathcal A\in\mathcal T$, y
(3) si $\mathcal A$ es un número finito, no vacío es subconjunto de a $\mathcal T$ $\bigcap\mathcal A\in\mathcal T.$
Ahora, un conjunto $\mathcal B$ de los subconjuntos de a $X$ se dice que es un topológico base en $X$ si:
(1) $\bigcup\mathcal B=X$ y
(2) para todas las $B_1,B_2\in\mathcal B$ y todos los $x\in B_1\cap B_2$ hay algo de $B_3\in\mathcal B$ tal que $x\in B_3$$B_3\subseteq B_1\cap B_2$.
Usted debe ser capaz de demostrar que si $\mathcal B$ es un topológico base en $X$, entonces el conjunto $$\mathcal T_{\mathcal B}:=\bigl\{\bigcup\mathcal A\mid \mathcal A\subseteq\mathcal B\bigr\}$$ is a topology on $X$. (In particular, it is the intersection of all topologues $$\mathcal T$ en $X$ tal que $\mathcal B\subseteq\mathcal T$.) Llamamos a $\mathcal T_{\mathcal B}$ la topología en $X$ generado por $\mathcal B$.
Tenga en cuenta que cada topología generada por un toological base (en particular, cada topología es una topológicos de la base). Topológico, de base genera una única topología, pero una determinada topología puede ser generado por muchos topológicas diferentes bases.
Supongamos que tenemos una topología $\mathcal T$ $X$ y cualquier topológico base $\mathcal B$ que genera $\mathcal T$. (Por ejemplo: un metrizable topología, y el conjunto de todos los balones en esa métrica.) Decimos que un subconjunto $A$ $X$ es una vecindad de un punto de $x\in X$ con respecto al $\mathcal T$ si hay algo de $B\in\mathcal B$ tal que $x\in B$$B\subseteq A$. Un subconjunto $A$ $X$ dijo estar abierta con respecto a $\mathcal T$ si para cada una de las $x\in A$ tenemos que $A$ es un barrio de $x$ con respecto al $\mathcal T$.
Usted debe ser capaz de demostrar que $A$ es un barrio de $x\in X$ con respecto al $\mathcal T$ si y sólo si hay algún $U\in\mathcal T$ tal que $x\in U$$U\subseteq A$. Asimismo, $A$ es abierta con respecto a $\mathcal T$ si y sólo si $A\in\mathcal T$.
Hay varias maneras de expresar una estructura topológica; en ciertas situaciones, algunos métodos son más útiles que otros.
Uno de los métodos que con frecuencia es útil es para especificar que establece que desee considerar la posibilidad de "abrir los barrios". Así que hay una lista de las condiciones de esta clase de conjuntos debe satisfacer para ser adecuado para definir una topología por ser su clase de abrir barrios (como se los suele llamar una clase como una "base" para la topología). Entonces, aprender a construir todo lo demás (por ejemplo, que los conjuntos son abiertos) en términos de esta información.
Sin embargo, a veces también es útil para especificar una topología listado que establece que desee considerar la posibilidad de ser abierto. Así que hay una lista de las condiciones de esta clase de conjuntos debe satisfacer para ser adecuado para definir una topología por ser su clase de bloques abiertos. Entonces, aprender a construir todo lo demás (por ejemplo, que los conjuntos son abiertos barrios) en términos de esta información.
A veces, se especifica una topología listado que establece que debe ser cerrado.
Creo que he visto a otros, pero no la primavera de inmediato a la mente.
Si queremos incluso definir la noción de espacio topológico, el enfoque típico es elegir uno de estos métodos, y decir que es la definición de lo que significa ser un espacio topológico. Que es un método de definición y que no es no es tan importante; de hecho, incluso se podría considerar todas las definiciones de potencialmente diferentes nociones, hasta llegar al punto en el que demostrar el teorema de que todos ellos son esencialmente la misma cosa.
