Jon,
Debería haber tenido más cuidado al dibujar la diapositiva mencionada anteriormente (y reproducida a continuación). No quería transmitir la idea de que existe un método para asignar a un nudo un nudo determinado (y desde luego no uno que tenga exactamente p cruces...). Sólo quería representar el resultado de que diferentes primos deberían corresponder a diferentes nudos.
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Esto es lo poco que sé al respecto :
La dualidad Artin-Verdier en cohomología etale sugiere que $Spec(\mathbb{Z})$ es una variedad tridimensional, como señaló Barry Mazur en este documento
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La teoría de los discriminantes muestra que no existen extensiones etale globales no triviales de $Spec(\mathbb{Z})$ por lo que su grupo fundamental (algebraico) debería ser trivial. Por Poincare-Perelman esto implica entonces que uno debe ver $Spec(\mathbb{Z})$ como la trisfera $S^3$ . Obsérvese que no hay ambigüedad en este sentido. Sin embargo, como hay otros anillos de enteros en campos numéricos que tienen grupo fundamental trivial, la correspondencia no es perfecta.
Vale, pero entonces los primos deberían corresponder a ciertos submanifolds de $S^3$ y como grupo algebraico fundamental de $Spec(\mathbb{F}_p)$ es la terminación profinita de $\mathbb{Z}$ la primera opción que me viene a la mente son los círculos
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Por lo tanto, los primos pueden verse como círculos incrustados en $S^3$ es decir, ¡como nudos! ¿Pero qué nudos? Bueno, que yo sepa, nadie tiene un procedimiento para asignar un nudo a un número primo, y mucho menos a uno que tenga p cruces. ¿Qué es Sin embargo, se sabe que diferentes primos deben corresponder a diferentes nudos
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porque los grupos algebraicos fundamentales de $Spec(\mathbb{Z})- \{ p \}$ difieren para distintos primos. Esta era la afirmación que quería ilustrar en la primera diapositiva.
Pero la historia va mucho más allá. Los nudos pueden estar enlazados y se puede detectar calculando el número de enlace, que es simétrico en los dos nudos. En teoría de números, el símbolo de Legendre, desempeña un papel similar gracias a la reciprocidad cuadrática
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y, por tanto, podemos ver el símbolo de Legendre como una indicación de si los nudos correspondientes a diferentes primos están vinculados o no. Mientras que en la teoría de nudos es natural investigar si colecciones de 3, 4 o 27 nudos están intrincadamente unidas (o no), poca gente consideraría digno de investigación el problema de si una colección de 27 primos difiere de otro conjunto de 27 primos.
Hay una excepción digna de mención, el Símbolo Redei que ahora podemos ver como información sobre el comportamiento de enlace de los nudos asociados a tres primos diferentes. Por ejemplo, se pueden buscar primos-triples cuyos nudos se enlacen como los anillos borromeo
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(nótese que los nudos correspondientes a los tres primos no son el un nudo sino más complicados). Aquí es donde la historia se pone interesante: en teoría de números uno quisiera descubrir "leyes de reciprocidad superiores" (para colecciones de n números primos) imitando invariantes de enlace superiores en teoría de nudos. Esto debería hacerse intentando hacer corresponder filtraciones sobre el grupo fundamental del nudo-complemento con el del grupo fundamental algebraico de $Spec(\mathbb{Z})-\{ p \}$ Este proyecto se llama topología aritmética
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(mi agradecimiento a la Sitio KnotPlot para las imágenes de nudos utilizadas en las diapositivas)
(mis disculpas por el cross-posting. MathOverflow era el lugar previsto para responder a la pregunta de Jon, pero este tema fue eliminado temporalmente ayer).
