¿Sigue siendo válida la desigualdad de Jensen en un espacio de medidas finito general?

Question

He obtenido información útil de esta pregunta: La desigualdad de Jensen en la teoría de medidas

Teorema 3.1 Desigualdad de Jensen

Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ sea un espacio de probabilidad (un espacio de medidas con $\mu(X) = 1$ ), $f: X \to \mathbb R \in L^1(X, \mu)$ y $\psi:\mathbb R \to \mathbb R $ sea una función convexa, entonces $$\psi\int_X f d\mu \le \int_X (\psi \circ f)d\mu$$

¿Y si la desigualdad de Jensen sigue siendo válida en un espacio de medidas finito? Un buen hombre d.k.o. respondió:

Sí. En este caso para convexo $\varphi$ : $$\varphi\left(\frac{1}{\mu(X)}\int fd\mu\right)\le \frac{1}{\mu(X)}\int \varphi\circ fd\mu$$

Sin embargo, este resultado es básicamente un reescalado $\mu$ a una medida de probabilidad.

Entonces, ¿es válida la siguiente proposición?

Sea $(X,\mathcal{M},\mu)$ sea un espacio de medidas general, y $\mu(X) < \infty $ ,
$f: X \to \mathbb R \in L^1(X, \mu)$ y $\psi:\mathbb R \to \mathbb R $ sea una función convexa, entonces $$\psi\int_X f d\mu \le \int_X (\psi \circ f)d\mu$$

Answer 1

No. De hecho, la desigualdad de Jensen en su forma básica sólo se cumple si $\mu$ es una medida de probabilidad. En $f=1$ muestra que tenemos $\psi(\mu(X)) \le \psi(1) \mu(X)$ para toda función convexa $\psi$ . Si $\mu(X) \ne 1$ entonces podríamos tomar $\psi$ sea una función lineal con $\psi(1) = 0$ y $\psi(\mu(X)) > 0$ y se produce una contradicción.

Answer 2

Agradezco mucho la respuesta de Nate Eldredge y Keba.
Y revisé cuidadosamente el proceso de prueba de la Desigualdad de Jensen y encontré Por qué "la desigualdad de Jensen No lo haga en un espacio de medida finita general".
Escribo este pensamiento para quien tenga la misma confusión.

En la Prueba original:

Prueba:

Desde $\psi$ es convexa, en cada $x_0 \in \mathbb R$ existe $a,b \in \mathbb R$ tal que $\psi(x_0) = ax_0 + b$ y $\psi(x) \ge ax + b, \forall x \in \mathbb R$ (aquí, $y = ax + b$ define un soporte plano del epígrafe de $\psi$ en $x_0$ ). Sea $x_0 = \int_X fdµ$ , entonces tenemos $$\psi(\int_Xf d\mu) = \psi(x_0) = ax_0+b=a\int_Xf\mu + b = \int(af+b)d\mu \le \int(\psi\circ f)d\mu$$ q.e.d.

En $\mu$ es una medida finita general, la ecuación de abajo no se cumple:
$$a\int_Xf\mu + b = \int(af+b)d\mu $$ Específicamente, $$b \neq \int b d\mu $$

En otras palabras, las ecuaciones siguientes sólo se cumplen cuando $\mu$ es una medida de probabilidad: $$\int_X c\ d\mu = c , \ (c\ is\ constant)$$ $$E[E(x)] = E(x)$$