Efectivamente, parece haber aquí algún tipo de paradoja, pero es muy sutil.
Para ser completamente claro, asumo que el juego se desarrolla en rondas. En cada ronda, un árbitro neutral elige al azar a uno de los jugadores y le ordena que le diga a otro jugador al azar si ya sabe quién es el ladrón. El receptor de esa información hace inmediatamente todas las inferencias que puede a partir de ese conocimiento antes de la siguiente ronda. El tercer jugador, que no ha participado en la comunicación, no sabe lo que se ha dicho. y ni siquiera sabe que una ronda tuvo lugar .
En primer lugar, algunos hechos sencillos: Si sabes que eres inocente, y escuchas cualquier otra persona dicen que no sabes quién es el ladrón, entonces por eliminación ahora sabes que la tercera persona es el ladrón. Por lo tanto, si usted alguna vez le diga a alguien "no lo sé", lo único que puede posteriormente decir usted es "Sé quién es". Así que eso no te hará más sabio.
Ahora, preguntemos:
(1) Si sabes que eres inocente y lo primero que te ocurre en el juego es que alguien te dice "sé quién es el ladrón", ¿puedes concluir algo?
Por supuesto que es posible que la persona que habló con usted sea el ladrón, así que la verdadera pregunta es si es posible que sea inocente. A priori parece concebible que los otros dos tipos pueden haberse comunicado sin que te dieras cuenta, de tal manera que el inocente entre ellos ahora lo sabe.
Sin embargo, ¿cómo podría ser esa comunicación? Uno de ellos debió hablar primero. Si el inocente habló primero, entonces (como se argumenta más arriba) nunca obtendrá del ladrón ninguna información que le sea útil, por lo que no terminará de enterarse.
Por otra parte, si el ladrón habló primero, entonces el tipo inocente se habría encontrado en exactamente la situación descrito en (1). Y ahora tenemos problemas:
Si la respuesta correcta a (1) es "sí", entonces es posible que el otro inocente se enterara por el ladrón de quién era el ladrón, y por lo tanto se le puede decir posteriormente por o bien al ladrón o al otro tipo que conocen. Por lo tanto, la respuesta correcta a (1) es "no".
Por otro lado, si la respuesta correcta a (1) es "no", entonces no hay forma de que el otro inocente pueda saber quién es el ladrón, siempre y cuando usted no me he comunicado con ninguno de ellos. Y por lo tanto, si uno de ellos admite saberlo, debe ser el ladrón. Así que la respuesta correcta a (1) es "sí".
Por tanto, la respuesta a (1) no puede ser ni "sí" ni "no". Una paradoja.
I piense en la resolución a esto es que este razonamiento depende críticamente de la suposición de que nadie sabe nunca si la primera comunicación de la que forma parte es la primera ronda del juego o no. Esa es una parte crítica del argumento de que la respuesta a (1) depende de una respuesta previa a la misma pregunta .
Por otro lado, si alguien conoce es en la primera ronda del juego cuando alguien les dice "sé quién es", entonces pueden concluir cómodamente que debe ser el ladrón.
Y al contrario, por lo tanto , si alguien sabe que es el segundo ronda del juego cuando se les dice que, a continuación, saben que no puede concluir nada.
Así que, en realidad, lo que permite la paradoja es la suposición de que el tiempo es continuo (o, al menos, denso): por muy rápido que empecemos a jugar, es posible, en principio, que los otros dos chicos ya hayan hablado.
Así, podríamos categorizar la paradoja como un primo invertido en el tiempo de la paradoja del examen sorpresa .
Además, sospecho que intentar formalizar la paradoja (en alguna variante apropiada de la lógica temporal+epistémica) tendrá problemas al expresar el supuesto de que todos son lógicos perfectos, y todos saben que todos los demás son lógicos perfectos, y todos lo saben también, etc. ad infinitum . Incluso definiendo lo que la "lógica perfecta" debería media parece requerir un sistema de razonamiento lo suficientemente potente como para que la incompletitud gödeliana entre en acción y nos diga que en ese caso no existe tal cosa como un lógico perfecto, al menos no uno sobre el que se pueda razonar.
