Existe un teorema de Gauss-Bonnet para 2 orbifolds compactos(debido a Satake, creo), que da una relación entre la curvatura de un orbifold riemanniano y la topología del orbifold(es decir, teniendo en cuenta no sólo la estructura de O como espacio topológico de Hausdorff, sino también la estructura de los puntos singulares). La única demostración que he visto era muy parecida a la clásica del teorema de Gauss-Bonnet, con triangulaciones geodésicas, defectos angulares, etcétera. Este enfoque no se generaliza a dimensiones superiores para demostrar el teorema de Chern-Gauss-Bonnet, y ni siquiera he encontrado una fórmula conjeturada de Chern-Gauss-Bonnet. Me interesa especialmente el caso de cuatro dimensiones, en el que el integrando es susceptible. Una de las razones por las que me interesa es para hacerme una idea de lo mucho más complicados que son los orbifolds que los manifolds; por un lado, muchas definiciones básicas parecen pasar del mundo de los manifolds al de los orbifolds, pero la generalización lleva a complicaciones significativas en la práctica. Por otro lado, Kleiner y Lott han publicado un artículo en el arxiv en el que utilizan el flujo de Ricci para geometrizar 3-orbifolds, por lo que los orbifolds parecen sin duda un buen campo en el que generalizar la geometría diferencial. Chern-Gauss-Bonnet es una especie de punto de referencia para la geometría riemanniana de dimensiones superiores, y me gustaría saber cuál es el estado del arte en este caso.
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Sí, existe un teorema de Gauss-Bonnet-Chern para los orbifolds, con una cierta restricción técnica. La demostración se realiza por reducción al caso clásico, ampliando todas las definiciones de la única forma que tiene sentido. Lo demostró Satake hace mucho tiempo:
He aquí un esbozo, en mis propios términos. Para mí, un orbifold $O$ es una pila lisa de Deligne-Mumford (véase aquí: http://arxiv.org/pdf/math/0203100 ). Existe el espacio de moduli grueso $|O|$ . Si $O$ es un cociente $M//G$ de alguna acción propia de un grupo discreto, entonces $|O|$ es el espacio de órbitas. En la definición de orbifolds que se utiliza en $3$ -topología dimensional, $|O|$ sería el espacio subyacente que tiene algunas atlas. En los orbifolds, disponemos de las siguientes estructuras: está el haz tangente $TO \to O$ ; $TO$ es también un orbifolio; se trata de un haz vectorial en la categoría de pilas; el cociente $|TO| \to |O|$ no es del todo un haz vectorial.
Permítanme hacer la siguiente suposición: Existe una variedad orientada compacta $N$ y un recubrimiento finito $N \to O$ de grado $d$ .
En estas circunstancias, podemos definir el número de Euler del orbifold $\chi(O) \in \mathbb{Q}$ como sigue:
$$\chi(O) := \frac{1}{d} \chi(N).$$
Utilizando la multiplicatividad del número de Euler ordinario, es fácil ver que $\chi(O)$ sólo depende de $O$ y no en $N$ . Ahora defino el lado geométrico del teorema G-B-C. Los orbifolds tienen haces tangentes y podemos hablar de formas diferenciales en orbifolds, complejo de Rham, conexiones en haces vectoriales y la conexión Levi-Civitta de la misma manera que para las variedades. La forma más limpia de definir las conexiones podría ser el marco de conexiones sobre haces principales. La última pieza de geometría diferencial necesaria es la teoría de Chern-Weil. Conclusión: para cualquier métrica de Riemann en una $2n$ -(es decir, el haz tangente está orientado), obtenemos una forma de Euler $e$ a cerrado $2n$ -forma.
Esta forma representa un elemento en la cohomología del orbifold, pero tenemos que decir lo que esto significa. Si $O=M //G$ fuera un cociente global, entonces $H^* (O) := H^* (EG \times_G M)$ la cohomología Borel-equivariante. Si $O$ no es un cociente global, hay que sustituir el espacio de Borel por el tipo de homotopía del orbifolio.
¿Cómo se integra el $2n$ -¿forma? Bien, dada una $2n$ -manifold $N$ y un mapa $f:N \to O$ como antes, definimos
$$\int_O e := \frac{1}{d} \int_N f^* e,$$
que es la única forma razonable de definir la integración sobre orbifolds. Dado que $N$ es una variedad, podemos aplicar el teorema clásico de Gauss-Bonnet-Chern y encontrar que
$$\chi(O)=\int_O e.$$
Probablemente se podría demostrar que la integral de Gauss-Bonnet es un invariante topológico del orbifold (es decir, independiente de la métrica de Riemann), haciendo deformaciones locales de la métrica dentro de atlas del orbifold. Si se toma un atlas del orbifolio que sea el cociente de una bola por un grupo finito, entonces para dos métricas riemannianas cualesquiera que coincidan en una vecindad del límite, la integral de Gauss-Bonnet debería ser la misma (ya que se puede trabajar de forma equivaariante en la cubierta de la bola). Dos métricas riemannianas cualesquiera pueden conectarse mediante una secuencia de tales deformaciones locales utilizando una partición de la unidad, y así la integral total de Gauss-Bonnet es un invariante topológico. La cuestión es si este invariante es igual a la característica de Euler.
Creo que esto se puede demostrar por reducción al caso del orbifold bueno mediante un truco de cortar y pegar. Si se tiene un suborbifold codim-1, se puede suponer que la métrica de Riemann es simétrica a la reflexión en una vecindad del suborbifold codim-1. Se puede cortar a lo largo del suborbifold y, a continuación, reflejar el suborbifold resultante. Corte a lo largo del suborbifold, a continuación, espejo de la frontera resultante para obtener un nuevo orbifold. Es evidente que la integral de Gauss-Bonnet y la característica de Euler del orbifold resultante es la misma (la característica de Euler del orbifold es aditiva al pegar a lo largo de suborbifolds reflejados). Creo que uno debería ser capaz de iterar esto para reducir al caso de un buen orbifold, que se vería como una bola cociente con un patrón de límite en ángulo recto (como en el truco de reflexión de Thurston y Davis). Tomemos un recubrimiento por cocientes de bolas y supongamos que sus límites se cruzan transversalmente. Se puede elegir una métrica en el orbifold de modo que la métrica sea localmente una métrica producto cerca de la frontera de cada bola cociente. Cuando varios de estos se cruzan, la métrica se verá localmente como un producto de una métrica en un cubo veces la métrica en la intersección (de modo que los límites se encuentran ortogonalmente). A continuación, cortar a lo largo de estos codim-1 suborbifolds, y el espejo de la frontera. El argumento de Davis muestra que estos orbifolds son buenos, y por tanto se aplica el teorema de Gauss-Bonnet. Puesto que cada región está contenida en un cociente de bolas, es buena y se puede tomar una cubierta de colectores. Luego reflejar iterativamente en el límite doblando a lo largo de cada subconjunto del límite que viene de un único límite de un cociente de bolas. Terminas con un colector cerrado, por lo que el orbifold es bueno.
