Sea $V$ sea un espacio unitario de dimensión finita. Demuéstralo: $(\forall U \in L(V) )( \forall x,y \in V, ||x|| \leq 1) ||y|| - | < Ux | y > | \geq 0 .$

Question

Sea $V$ sea un espacio unitario de dimensión finita. Demuéstralo: $$ (\forall U \in L(V) )( \forall x,y \in V, ||x|| \leq 1) ||y|| - | < Ux | y > | \geq 0 .$$

No sé ni cómo empezar ( intenté probarlo directamente pero no llegué a ninguna parte). ¡Cualquier pista ayuda!

Answer 1

Como se ha dicho, la desigualdad es errónea.

Toma $U(x) = 2x$ y $x=y$ con $\Vert x \Vert = 1$ . Usted obtiene

$$\Vert y \Vert - \vert \langle Ux, y \rangle \vert = - 1 <0$$