integración $\int \frac{e^x}{x}dx$

Question

Quiero integrar $\int \frac{e^x}{x}dx$ .

Intento 1: Que $u = e^x$ y $dv = \frac{1}{x}dx$ es decir $v = \log x$ . Entonces, por integración por partes, tenemos $$ \begin{align} \int \frac{e^x}{x}dx &= \int u\, dv \\ &= uv - \int v\, du \\ &= e^x\log x - \underbrace{\int e^x\log x\,dx}_{=?} \end{align} $$

Intento 2: Que $u = \frac{1}{x}$ y $dv = e^xdx$ . De forma similar, tenemos $$ \begin{align} \int \frac{e^x}{x}dx &= uv - \int v\, du \\ &=\frac{e^x}{x} - \int e^x\Big(-\frac{1}{x^2}\Big)dx \\ &=\frac{e^x}{x} + \underbrace{\int\frac{e^x}{x^2}dx}_{=?} \end{align} $$

Intenté elegir diferentes $u$ s utilizando la integración por partes, pero ninguno funcionó

¿Alguien tiene una idea mejor?

Answer 1

Éste es un ejemplo de libro de texto de una integral que no puede expresarse con el conjunto tradicional de funciones analíticas. Con una elección específica de la constante integradora, se obtiene la integral exponencial $\operatorname{Ei}(x)$ .

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral