¿Cómo se encuentran los ciclos algebraicos evanescentes?

Question

Tengo una pregunta, relacionada con lo que preguntó antes . Consideremos una sección de hiperplano suave $X$ de una variedad proyectiva lisa $Y$ en $\mathbb C$ . Según el teorema de Lefschetz débil, los grupos de cohomología de $X$ coinciden con los de $Y$ en todas las dimensiones excepto en la del medio. En las dimensiones intermedias, el retroceso $i^*: H^d(Y) \to H^d(X)$ es inyectiva, pero no suryente, y los "nuevos" ciclos en $X$ se denominan ciclos de fuga. (La razón de tal nombre es que estos "nuevos" ciclos se desvanecen cuando nos acercamos a las fibras singulares del lápiz de Lefschetz). Los ciclos evanescentes también pueden describirse como los que viven en el núcleo de $i_*: H^d(X) \to H^{d+2}(Y)$ .

Consideremos el caso de que $X$ es par-dimensional, por lo que podemos esperar que los ciclos de fuga sean algebraicos.

Por ejemplo, para una cuádrica suave de dimensión par en $\mathbb {CP}^n$ existe un ciclo de fuga - es una diferencia $[E_1] - [E_2]$ de dos subespacios lineales máximos de diferentes clases.

Otro ejemplo en el que he pensado es una superficie cúbica lisa en $\mathbb {CP}^3$ los ciclos de fuga se generan aquí por diferencias de pares de líneas $[l_1] - [l_2]$ que se encuentra en el cúbico.

Ahora quería preguntar, ¿qué otros ejemplos se le ocurren a la gente? Estoy interesado en el caso, cuando los ciclos de fuga son realmente algebraicos.

¿Existe un método general para describir estos ciclos en situaciones concretas (como MG(3,6) )?

Gracias

EDIT: Probablemente las vacaciones de invierno no son el mejor momento para empezar una recompensa...

Answer 1

A mí me parece, que en un genérico hipersuperficie de $CP^n$ de grado de más de 3 si $n=2$ y de grado de más, a continuación, $2$ al $n>3$ no hay algebraica de fuga de los ciclos. Este es sin duda el caso de los genéricos hypersurfaces en $\mathbb CP^3$ de deree $4$ y más. Para ellos sólo hay una parte integral de la clase en $H^{1,1}$, esta es la clase dada por el hyperplane sección. Así que los dos ejemplos que se dan son en cierto sentido muy excepcionales.

Answer 2

Evgeny Shinder firmemente localiza su pregunta en el algebraicas mundo. No obstante, voy a anunciar cómo limpiamente Picard-Lefschetz teoría funciona en la topología simpléctica (cf. Seidel, "Una larga secuencia exacta para Floer cohomology"). Como parte de la justificación, voy a señalar que la algebraicas situación es mucho más complicada, como lo demuestra no sólo por Dmitri respuesta, pero por el hecho de que la conjetura de Hodge es abierto!

Un simpléctica Lefschetz lápiz sobre un colector $X$ de la dimensión real de $2n+2$, junto con una ruta de acceso de regular el valor de $b$ a un valor crítico, da lugar a una geométricas de fuga ciclo de $V$. Este es un integrado de Lagrange submanifold en $X_b$. Viene con una preferido isotopía de la clase de diffeomorphisms $S^n\to V$, y por lo tanto (por el Lagrangiano de barrio teorema) un symplectomorphism entre un barrio de $V$ $X_b$ y un barrio de $S^n$$T^*S^n$. La descripción es más o menos reversible: la existencia de una esfera de Lagrange en $M$ implica que, symplectically (pero no necesariamente de manera algebraica, incluso cuando $M$ es algebraico), un ordinario-doble punto de degeneración de $M$ existe.

Podría ser interesante pensar sobre el algebraicas simpléctica caso (pero yo no).

Answer 3

Este es el método que tenía en mente viendo los ejemplos que tenía. Dejemos que $X \subset Y$ sea una sección de hiperplano suave. Nuestro objetivo es detectar ciclos en $X$ que no son intersecciones completas de $X$ con ciclos en $Y$ .

Consideremos un ciclo $Z$ en $Y$ tal que $Z \cap X$ es reducible, digamos $$Z \cap X = A + B$$ para algunos ciclos $A$ , $B$ en $X$ . Entonces podemos esperar $A - B$ o alguna combinación similar puede ser una fuga.

Para las cuádricas y cúbicas anteriores tomamos $Z$ para ser un subespacio lineal tangente de dimensión apropiada.

¿Alguien ha visto algo así aplicado en otros casos?

Lo triste es que yo algo así como puede hacer que funcione para $MG(3,6)$ para describir un ciclo de desvanecimiento, pero no está claro por la descripción que recibo si el ciclo es racional o no.