Un problema conceptual con las ecuaciones de campo de la relatividad general

Question

Tengo dos preguntas:

1. ¡¡¡Supongamos que tenemos una cantidad de energía en forma de un fluido perfecto en el lado derecho de las ecuaciones de campo de Einstein (tensor de energía momento), esto dará lugar a un campo gravitatorio, el propio campo gravitatorio tiene energía, y esta energía propia también produce campo gravitatorio ... en otras palabras la gravedad engendra gravedad !!! ... debido a este escenario tendremos un campo gravitacional infinito!! ... ¿que esta mal aqui? ¿es mi razonamiento incorrecto o son las ecuaciones del campo las que no son correctas?

2. ¿Tiene algo que ver este comportamiento no lineal de la gravedad (¡o quizá del gravitón!) con el hecho de que cuando intentamos cuantizar la gravedad nos encontramos con infinitos?

Answer 1

(1) Bueno, esa es la intuición básica que uno debería tener al expandir la métrica como fluctuante sobre la métrica plana de Minkowski, es decir, escribiendo $$ g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$$ donde $h_{\mu\nu}$ contiene toda la información sobre la curvatura, $\eta_{\mu\nu}$ la métrica habitual de Minkowski. Lo que suele ocurrir en la mayoría de las clases es que aproximamos la métrica inversa como $$ g^{\mu\nu}\approx\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}.$$ Esto es técnicamente incorrecto: la respuesta completa debería ser un serie infinita .

A medida que seguimos añadiendo términos, la intuición debería ser que nos movemos iterativamente entre "el espaciotiempo le dice a la materia cómo moverse" y "la materia le dice al espaciotiempo cómo enroscarse".

(Edición: la primera prueba de esto que realmente se dio se puede encontrar libremente en línea. S Deser, "Self-Interaction and Gauge Invariance". Gen.Rel.Grav. 1 (1970) 9-18. Eprint arXiv:gr-qc/0411023 .)

(2) Los argumentos habituales a favor de la no normalizabilidad se reducen a: $G$ la constante de acoplamiento de la gravedad tiene dimensiones geométricas de longitud al cuadrado, por lo que contador de energía nos dice que esto resulta en una teoría no normalizable. Te puede interesar:

• Assaf Shomer, "Una explicación pedagógica de la no normalizabilidad de la gravedad". Eprint arXiv:0709.3555 , 10 páginas.

Answer 2

Este es el famoso problema de la reacción en la gravedad perturbativa. Para evitarlo, normalmente sólo trabajamos hasta unos pocos órdenes en una serie perturbativa (aunque la gente de PPN irá más lejos de lo que parece sensato al hacer trabajo numérico, pero no se les puede culpar teniendo en cuenta que la radiación sólo aparece a 2,5 PPN). No está claro si los métodos perturbativos en relatividad general convergen.

Lo que está claro, sin embargo, es que se pueden tener con seguridad soluciones exactas para la relatividad general en las que se resuelve este problema de retro-reacción de forma no-perturbativa. En particular, existe una prueba existente que la autoenergía clásica de una bola cargada es finita, debido a una cancelación de la infinita autoenergía electromagnética frente a la infinita autoenergía gravitatoria.

Answer 3

Que yo sepa, el comportamiento no lineal de la gravedad no tiene nada que ver con la obtención de infinitos al cuantificarla (su no normalizabilidad). De hecho, la gravedad de Einstein pura es finita en 1 bucle y la gravedad de Einstein acoplada a un campo escalar es finita en 2 bucles. En cambio, la teoría de Yang-Mills, por ejemplo (un caso especial en el que se basa el Modelo Estándar), también es no lineal, pero es renormalizable (¡finito UV!), como demostró T'Hooft en los años setenta.

Con respecto a la primera pregunta se podría dar el siguiente argumento. Consideremos las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) : $$G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G_N}{c^4} T_{\mu\nu}.$$

Obsérvese que en el lado derecho el tensor de energía de tensión es el originado por los campos de materia. Se resuelven las ecuaciones de campo para la métrica $g_{\mu\nu}$ y obtiene la solución que llamamos "campo gravitatorio". Ahora nos gustaría considerar el efecto del propio campo gravitatorio en el lado derecho de las ecuaciones de campo de Einstein. Siguiendo a Landau-Lifshitz (vol. 2, sección 96), el siguiente paso sería construir el (pseudo)tensor de energía de la tensión gravitatoria: $$t^{\mu\nu} = - \frac{c^4}{8\pi G_N}G^{\mu \nu} + \frac{c^4}{16\pi G_N (-g)}((-g)(g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta} - g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}))_{,\alpha \beta}.$$ Nótese que esta cantidad NO es un tensor (véase L&L vol. 2 para más detalles). Sin embargo, debe ser tal que cuando se añade a $T_{\mu\nu}$ debería dar divergencia cero (para que el tensor de Einstein satisfaga las identidades de Bianchi o, en otras palabras, el tensor momento energía total (de la materia $+$ campo) se conserven). Dado que $t_{\mu\nu}$ que codifica la información sobre la densidad de energía del campo gravitatorio, no es un tensor (en particular, si desaparece en un punto, puede no desaparecer en otro), por lo que carece de sentido físico hablar de si existe o no energía gravitatoria en un punto determinado del espacio-tiempo. De hecho, ¡está deslocalizada! Esto es coherente con el hecho de que localmente podemos "apagar" el campo gravitatorio mediante una elección adecuada de los sistemas de coordenadas en esa vecindad local. Por tanto, si se dice que EFE implica una energía gravitatoria infinita, se estaría contradiciendo el principio de equivalencia, ¡lo que haría que la RG fuera autoinconsistente! En mi opinión, este argumento básico parece zanjar la cuestión de la naturaleza aparentemente recursiva de las ecuaciones de campo de Einstein.