Chorros y diferencial vertical

Question

Para un haz vectorial $(E,\pi, M)$ deje $\phi :M\mapsto E$ sea una sección de $\pi $ , $x\in M$ y $u=\phi (x)$ . El diferencial vertical de la sección $\phi$ en el punto $u\in E$ es el mapa: \begin{equation} d^v_u\phi :T_uE\mapsto \mathcal V_u\pi \end{equation} En coordenadas sobre $E$ $(x^i,u^\alpha)$ escribimos; \begin{equation} d^v_u\phi =\bigg(du^\alpha -\frac{\partial \phi ^\alpha }{\partial x^i}dx^i\bigg)\otimes \frac{\partial }{\partial u^\alpha} \end{equation} Aparentemente es obvio de esto que $d^v_u\phi$ sólo depende del espacio del chorro de primer orden $j^1_x\phi$ .

¿Qué es la $\mathcal V_u\pi$ en este caso? Está claramente relacionado con la colector de chorro $J^1\pi$ cuyo espacio total es el producto $T^*M\otimes _E\mathcal V\pi$ . Pero no entiendo muy bien qué es un haz vectorial asociado ¡es!

Referencias:

1. C.M. Campos, Métodos geométricos en teoría clásica de campos y medios continuos, páginas 24-25 .

Answer 1

$V_u\pi $ es el espacio vectorial tangente a la fibra $\pi^{-1}(x)$ del haz $\pi : E\to M$ pasando por $u$ . En el libro coordenadas locales $(x',u')$ proporcionar $T_u E$ con la división $V_u \pi + H_u E$ donde el subespacio (horizontal) se identifica con $T_u M$ . Podemos pensar en el espacio horizontal como la tangente a secciones localmente constantes $\phi: M\to E$ pasando por el punto $u$ es decir, $\phi(x')\equiv u$ . Ahora, tomando la diferencial vertical de una sección $\phi$ es igual a la proyección de la diferencial ordinaria $d\phi$ a $V_u E$ a lo largo de este $H_u$ . Colector de chorro $J^1_π$ tiene proyecciones tanto en $E$ y $M$ que lo convierte en haz, se denomina asociado ya que su grupo de estructura está definido por el grupo de estructura del haz inicial $\pi$ véase (3.5).