¿Cuántos términos hay en $\sum \alpha_1^{a_1}\alpha_2^{a_2}\cdots \alpha_r^{a_r}\alpha_{r+1}\alpha_{r+2}\cdots \alpha_s$

Question

Supongamos que $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ sea $n$ raíces de la ecuación polinómica $p(x)=0$ de grado $n$ . Yo estaba estudiando en polinomio simétrico y han llegado a través de varios problemas en como $\sum \alpha_i^2, \sum \alpha_i^3\alpha_j^2$ etc. en función de los coeficientes de $p(x)$ . Entonces me vino a la mente la siguiente pregunta.

Supongamos $\sum \alpha_1^{a_1}\alpha_2^{a_2}\cdots \alpha_r^{a_r}\alpha_{r+1}\alpha_{r+2}\cdots \alpha_s$ donde $a_1, \cdots, a_r>1$ y $s\leq n$ . En otras palabras, estamos considerando la suma de todos los términos de la forma anterior donde el primero $r$ $\alpha$ s son de mayor potencia y el resto son de potencia unitaria.

Mi pregunta es: ¿cómo averiguar cuántos términos habrá en esta suma? ¿Es posible obtener la respuesta de forma cerrada?

Gracias de antemano

Answer 1

La suma que estás considerando se llama función simétrica monomial $m(a_1,a_2,\ldots,a_r,1,\ldots,1)$ . Un término se determina asociando un exponente específico (posiblemente $0$ ) a cada raíz $\alpha_i$ de forma que cada exponente se utilice exactamente el número de veces necesario. En otras palabras, puede considerar los exponentes disponibles (de nuevo, incluidas las apariciones de $0$ ) como $n$ letras, que se utilizarán en una palabra formada reordenándolas (como en el Scrabble), denominadas permutaciones del multiconjunto de letras.

El número de permutaciones (distintas) de un multiconjunto finito dado depende únicamente de las multiplicidades $m_1,\ldots,m_k$ de las distintas letras que aparecen (no en cuáles son esas letras). Se trata de una coeficiente multinomial $$ \binom n{m_1,\ldots,m_k} \quad\text{where $ n=m_1+\cdots+m_k $.} $$