Rodar sin resbalar interpretación de la torsión

Question

Se trata, en cierto sentido, de una continuación de esta pregunta .

Hehl y Obukhov intentar dar una descripción intuitiva de la torsión. Me confunde su descripción. Me fijo en el siguiente párrafo de la página 5:

¿Cómo puede un observador local en un punto $p$ con coordenadas $x^i$ saber si su espacio presenta torsión y/o curvatura? El observador local define un pequeño bucle (o un circuito) que se origina en $p$ y que conduce de nuevo a $p$ . Entonces él / ella rueda el espacio de referencia local sin deslizamiento ... Como muestra un cálculo, la traslación sumada es una medida para la torsión y la rotación para la curvatura.

Así, mis datos de entrada son un colector $M$ con una conexión $\nabla$ en $T_* M$ y una ruta $\gamma : [0,1] \to M$ . A partir de estos datos, debo obtener un mapa lineal afín $v \mapsto Av+b$ de $T_{\gamma(0)} M$ a $T_{\gamma(1)}(M)$ . En particular, si $\gamma(0)=\gamma(1)=p$ obtengo un endomorfismo de $T_p M$ . Entonces $b$ es una medida de la torsión, y $A$ es una medida de la curvatura.

Estoy contento con la parte de la curvatura. Esto es transporte paralelo: Dado un vector tangente $u \in T_p M$ , debo encontrar la sección local única $\sigma$ de $\gamma^* T_p(M)$ tal que $\sigma(0) = u$ y $\nabla \sigma=0$ . Entonces $Au = \sigma(1)$ .

Tengo dos confusiones sobre la parte de torsión:

(1) Hehl y Obukhov citan su definición de laminación sin deslizarse a cinco fuentes (ocultas por las elipsis anteriores). La más legible de las que tengo acceso es Geometría diferencial por Sharpe. Pero Sharpe (al menos en el Apéndice B) sólo da una definición para la conexión Levi-Civita, no para una conexión arbitraria. Creo que he adivinado cuál debería ser la definición, pero ¿podría alguien escribirla para estar seguro?

(2) En cualquier caso, tengo entendido que la conexión Levi-Civita debe ser libre de torsión y que, para la conexión Levi-Civita, rodar sin deslizar corresponde a rodar físicamente mi colector a lo largo de un plano. Así que la afirmación debería ser, si tomo una superficie $S$ en $\mathbb{R}^3$ y lo hago rodar físicamente por el tablero de una mesa, cuando vuelvo al mismo punto de tangencia en $S$ Debería estar en el mismo punto de la mesa. La experimentación física no me ha aclarado si esto es cierto o no. Sin embargo, si hago rodar mi superficie a lo largo de una trayectoria no pequeña, esto es definitivamente falso: ¡de lo contrario, los rodamientos de bolas no podrían rodar!

Técnicamente, no se trata de una contradicción, porque Hehl y Obukhov sólo hablan de un circuito pequeño. Pero la situación habitual en geometría diferencial es que cuando alguna cantidad desaparece en todas partes de una variedad, entonces "pequeño" puede sustituirse por "contractible". Y el ejemplo de un rodamiento de bolas muestra definitivamente que rodar-sin-deslizar un plano a lo largo de un bucle contractible según la conexión LC puede producir una traslación no trivial.

¿Qué es lo que pasa?

Answer 1

"Rodar sin resbalar" es una idea poderosa, pero la frase no conduce necesariamente al modelo mental deseado. En particular, la torsión es algo que se plantea sólo para las variedades de dimensión 3 o superior. Tal vez se pueda imaginar un manifold de 3 dimensiones y hacerlo rodar a lo largo de un hiperplano en un espacio de 4 dimensiones, pero pero la metáfora se vuelve forzada, en parte porque la mayoría de los 3-manifolds Riemannianos no pueden ser incrustarse isométricamente en $\mathbb E^4$ .

Otra forma de verlo es la siguiente: supongamos que tenemos una curva suave parametrizada parametrizada en una riemanniana, $\alpha: [0,T] \rightarrow M^3$ . Entonces la afirmación es que existe existe una curva coincidente $\beta: [0,T] \rightarrow \mathbb E^3$ junto con un mapa $\phi$ de una vecindad de la imagen de $\beta$ a una vecindad de la imagen de $\alpha$ que lleva la métrica euclidiana a la métrica de $M^3$ hasta el primer orden a lo largo de la curva. Además, $\beta$ está determinada unívocamente hasta una isometría de $\mathbb E^3$ . Básicamente, $\beta$ es lo que obtienes si "ruedas" $M^3$ a lo largo de $\mathbb E^3$ a lo largo de $\gamma$ de una manera que mejor mantenga el contacto entre los dos espacios: es decir, "sin resbalar".

Para ver que la curva $\beta$ (suponiendo que exista) está determinada unívocamente por $\alpha$ , podemos imaginarnos intentando enviar un vecindario de $\beta$ a una vecindad de otra curva $\gamma: [0,T] \rightarrow \mathbb E^3$ de forma que se mantenga el primer orden contacto de la métrica. Si nos fijamos en las curvas paralelas a $\beta$ en $\mathbb E^3$ la primera derivada de su longitud de arco es negativa en la dirección que $\beta$ se curva. La derivada logarítmica de longitud de arco, para curvas desplazadas a lo largo de un campo vectorial normal que permanece lo más paralelo posible a es la magnitud de la curvatura.

Si se trata de torcer el sistema de coordenadas normal, esto corresponde al concepto de torsión. Es más fácil de visualizar a lo largo de una línea recta: si se tuerce una vecindad de una línea en el espacio, distorsionas la métrica en cada cilindro concéntrico, cambiando los ángulos entre los círculos transversales y las líneas generatrices. Es decir , roscas que se enrollan alrededor de una manguera en ángulos $\pm \pi/4$ son eficaces para evitar la torsión. El mismo principio es válido para cualquier curva en el espacio: el comportamiento de primer orden de la métrica en una de primer orden de la métrica en una vecindad de la curva, encierra la caracterización de Frenet de la curva (bueno, la curvatura y la torsión como función de la longitud del arco, pero éstas son diferentes pero están relacionadas con la curvatura y la torsión de una conexión).

¿Por qué existe la curva de correspondencia? Se pueden comprobar las derivadas, etc., pero mejor imaginarlo. Básicamente, podrías reparametrizar $\alpha$ por longitud de arco, entonces proyecta una vecindad de $\alpha$ volver a $\alpha$ enviando cada punto al más cercano punto de $\alpha$ y parametrizar las líneas de proyección por su longitud de arco. En cada tubo concéntrico, hay un único campo vectorial unitario ortogonal a las preimágenes de proyección a $\alpha$ . Escala este campo vectorial de modo que conmute con proyección, para obtener un conjunto completo de coordenadas cilíndricas para una vecindad de $\alpha$ . La única invariante de primer orden para la métrica que es libre es la primera derivada de la función de escala. Usando eso, se puede igualar la primera derivada utilizando la curvatura y la torsión de una curva en el espacio.

Este proceso define la conexión afín en el haz tangente. La conexión Levi-Civita es la parte lineal de la conexión afín, que es automáticamente por libre de torsión. Las conexiones no libres de torsión son las que imparten torsiones en pequeñas vecindades de curvas. Esto suele expresarse traduciéndolo en una fórmula sobre derivadas covariantes de dos campos vectoriales que no son tan conmutativas como deberían.

Esto sí que requiere fotos. ¿Algún voluntario?

Answer 2

Así que ahora puedo explicar casi todo el material que me confundía. No sé si esto ayudará a alguien más, pero aquí está la respuesta que me habría ayudado.

Sea $M$ sea una variedad con una conexión en $T_* M$ . Sea $\gamma: [0,1] \to M$ sea una curva en $M$ . Entonces el transporte paralelo nos da mapas $g_t: T_{\gamma(0)} M \to T_{\gamma(t)} M$ . Así obtenemos un vector $g_t^{-1} \gamma'(t)$ en $T_{\gamma(0)} M$ para cada $t$ . Sea $b(u) = \int_0^u g_t^{-1} \gamma'(t) dt$ . Así que $b(u)$ es una ruta en $T_{\gamma(0)} M$ .

El significado físico de $b(u)$ (cuando $\nabla$ es la conexión LC) es que, si rodamos $M$ a lo largo de una tabla, de modo que en el momento $t$ , $M$ es tangente es la tabla en la posición $\gamma(t)$ entonces $b(u)$ es la trayectoria trazada sobre la mesa por el punto de tangencia. El mapa lineal afín de mi pregunta es más o menos $v \mapsto g_t (v + b(t))$ . Véase la respuesta de Bill Thurston para la intuición física subyacente.

Creo que la declaración que Hehl y Obukhov pretendían era la siguiente:

Sea $\gamma$ sea una curva pequeña, que limita un "disco de tamaño $r$ ", para algunos pequeños $r$ . Si $\nabla$ es libre de torsión entonces $b(1) = O(r^3)$ . En caso contrario, si $\gamma$ está en "el plano abarcado por los vectores $X$ y $Y$ ", entonces $b(1) = T(X,Y) r^2 + O(r^3)$ donde $T$ es el tensor de torsión y puede que me falten algunos factores de $2$ o $\pi$ .

Aquí las frases entrecomilladas no pretenden ser rigurosas: el disco podría ser un cuadrado o un óvalo en lugar de un círculo perfecto, y no pretendo tener una definición de "plano" en una variedad Riemmanniana general. Lo que quiero decir es que deberíamos trabajar a escala lo suficientemente local como para que nuestra intuición euclidiana de estos conceptos sea adecuada.

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Hagamos algunas comprobaciones de cordura. Primero, trabajemos en $\mathbb{R}^n$ con una conexión constante, lo que significa que $$\nabla_{\partial_i} \sigma = \partial_i(\sigma) + A_i \sigma,$$ donde $A_i$ es una constante $n \times n$ matriz. (Debe ser asimétrica, para tener $\nabla$ respetar la métrica). Demos la vuelta a un cuadrado en el $\mathbb{R}^2$ avión; viajar $r$ en dirección $e_1$ , $r$ en dirección $e_2$ , $r$ en dirección $-e_1$ y $r$ en dirección $-e_2$ . Así que el camino $b$ consta de cuatro segmentos de longitud $r$ en direcciones $$e_1,\ e^{-r A_1} e_2,\ -e^{-r A_1} e^{-r A_2} e_1 \ \mbox{and} \ -e^{-r A_1} e^{-r A_2} e^{r A_1} e_2.$$

El desplazamiento total es $$r((e_1+e_2-e_1-e_2)-r(A_1 e_2 + A_1 e_1 + A_2 e_1 + A_2 e_2) + O(r^2))$$ $$=r^2(A_1+A_2)(e_1+e_2)+O(r^3).$$

Intuitivamente, estamos sumando cuatro vectores de longitud $r$ . Pueden agruparse en dos pares casi antiparalelos; en cada par, el ángulo entre un vector y su casi negativo es $O(r)$ . Así que la suma en cada par es $O(r^2)$ y no hay motivos para esperar más cancelaciones.

Para nuestra segunda comprobación, veamos la conexión LC en $S^2$ (de radio $1$ ). Esto no tiene torsión, así que deberíamos ser capaces de verlo.

Hagamos rodar la esfera, manteniendo el punto de contacto sobre una línea de lattitud constante $\phi$ . (Aquí $\phi \in (0, \pi)$ con $\pi/2$ es decir, el ecuador). La trayectoria $b$ es un arco de círculo. El arco tiene radio $\tan \phi$ y barre el ángulo $2 \pi \cos \phi$ . Por lo tanto, la distancia de un extremo del arco al otro es $2 (\tan \phi) \sin\left( \pi \cos \phi \right) = 2 O(\phi) \sin (\pi - O(\phi^2)) = O(\phi^3)$ . Así vemos que el desplazamiento va a $0$ como $O(\phi^3)$ según se desee.

En respuesta a la solicitud de fotos de Bill Thurston, he aquí las trayectorias trazadas por el balón para $\phi=(0.1 \ \mbox{radians})*k$ con $1 \leq k \leq 7$ . Obsérvese que los radios de los arcos se reducen linealmente, pero la distancia entre los extremos del arco se reduce cúbicamente.

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Por lo tanto, permítanme ahora tratar de abordar mi confusión en la parte (2), utilizando el ejemplo de $S^2$ . Me confundieron dos cosas. La primera es que interpreté que los autores decían que la traducción desaparecería, cuando en realidad se extinguió como $O(r^3)$ . Pero la segunda era que tenía un argumento falaz en la cabeza que sugería que, si teníamos un $O(r^3)$ entonces implicaría que el desplazamiento $b$ alrededor de cualquier bucle contractible sería cero. No sé si esto ayudará a alguien más, pero ahora voy a explicar la falacia y exponerla.

Prueba falsa: Identificar mi trayectoria contractible $\gamma$ con un cuadrado de lado $1$ . Subdivídalo en $N^2$ cuadraditos $s_1$ , $s_2$ , ..., $s_{N^2}$ . Sea $p$ ser una esquina del gran cuadrado. Sea $\delta_i$ sea un camino que va de $p$ a $s_i$ , círculos $s_i$ y vuelve a $p$ . Sea $\delta$ sea la concatenación de los $\delta_i$ 's. Si elige el orden de los $s_i$ 's correctamente y elegir el $\delta_i$ 's, entonces $\delta$ es simplemente $\gamma$ con un montón de retroceso puesto.

Así que el camino $b_{\delta}$ procedente de $\delta$ será simplemente $b_{\gamma}$ además de muchos segmentos de retroceso. Así que $b_{\gamma}$ es una concatenación de $N^2$ caminos, cada uno de longitud $O(1/N^3)$ . Vemos que la longitud de $b_{\gamma}$ es $O(1/N)$ . Desde $N$ era arbitraria, esto concluye la falacia. QFD

Esto es similar a una prueba (correcta) de que, si $\omega$ es una forma única cerrada, entonces $\oint \omega$ alrededor de cualquier bucle contractible es $0$ : Se calcula directamente, para una forma cerrada, $\oint_{r \cdot \gamma} \omega = O(r^3)$ y luego ejecuta un argumento de subdivisión similar.

Entonces, ¿por qué no funciona? Dando vueltas $s_i$ realmente sólo contribuye $O(1/N^3)$ . Pero pasar de $p$ a $s_i$ alrededor de $s_i$ y de vuelta a $p$ contribuye $O(1/N^2)$ ¡! La razón es que, debido a la curvatura, el viaje alrededor de $s_i$ rota mi marco de referencia. Así, cuando vuelvo por donde he venido, la trayectoria resultante está girada y no vuelve sobre sí misma. ¿Cuál es la magnitud de este efecto? El ángulo de rotación es $2 \pi - O(\mathrm{Area}(s_i))$ que puede tratarse como $O(\mathrm{Area}(s_i))$ ya que sólo nos importa el efecto neto y no el número de vueltas. El área es $O(1/N^2)$ . Así que recorremos un camino de longitud $O(1)$ y luego retroceder a lo largo de la rotación de esa trayectoria en un ángulo de $O(1/N^2)$ . Así que nuestro desplazamiento neto es $O(1/N^2)$ y la falacia se desmorona.

He aquí algunas cifras de tomar una bola que está en reposo en su ecuador, rodarla hasta la latitud $\phi$ una vez alrededor de la latitud $\phi$ y de vuelta al punto de partida ecuatorial. Los valores de $\phi$ son $0.1$ , $0.2$ y $0.3$ radianes. Lo que debes ver es que los radios de los arcos disminuyen linealmente, la separación entre los extremos de los arcos disminuye cúbicamente y la separación entre los extremos de los radios disminuye cuadráticamente.

Answer 3

A juzgar por su punto (2), creo que su imagen no es del todo correcta. El concepto al que se refiere se llama desarrollo . La idea es algo así (lo "entiendo" para el caso sin torsión, pero no tengo ni idea de cómo tratar el caso con torsión). Toma el plano como tu espacio modelo (espacio de referencia local) y tiene una conexión canónica en él. Imagina que es una mesa. Supongamos que la mesa es un rectángulo alargado, así que puedes imaginártela con bonitas cuadrículas horizontales y verticales.

Ahora coge una naranja (o una sandía, de hecho, una sandía puede ser más fácil de usar en la práctica). Colócala en algún lugar de la mesa. Mira desde arriba de la naranja y localiza el punto más alto (en realidad deberías hacerlo en el punto de contacto, pero es más fácil dibujar en la antípoda). Dibuja una flecha azul en dirección vertical y una flecha verde en dirección horizontal, la verde en el sentido de las agujas del reloj a partir de la azul. Ahora gira la naranja sin deslizarla ni torcerla, hasta que el punto de contacto original vuelva a estar en contacto con la mesa (de modo que la antípoda elegida vuelva a estar encima). Compara ahora el marco definido por las flechas azul y verde y el marco definido por la mesa. Esto mide el defecto angular de tu bucle cerrado. Si haces rodar la naranja directamente lejos de ti (viajando a lo largo de una geodésica/gran círculo sobre la naranja), los dos fotogramas se alinearán. Pero si lo haces rodar a lo largo de un bucle diferente en general los dos fotogramas no se alinearán. Esta rotación es la parte de la curvatura.

Si lo miras así, está claro lo que intentas hacer: la trayectoria trazada por la naranja en el plano es la trayectoria que experimenta la misma "aceleración" que tu trayectoria en la naranja en cada uno de sus puntos. Debido a la diferente geometría, la trayectoria en el plano no será, en general, cerrada. Lo que importa son las diferencias direccionales que "muestran" el efecto del transporte paralelo: nótese que sólo tiene sentido considerar un bucle completo sobre la fruta (cuando las flechas volvieron arriba) ya que no hay un marco canónico que se tome a priori sobre la naranja...

(Lo siento si mi explicación sigue siendo insuficiente).

Para el caso de torsión: He intentado elaborar la idea de la escalera de Cartan, pero no creo que mi intento de utilizar una analogía de la montaña rusa es el mejor. En cualquier caso, dado que la geometría superficial de los objetos físicos tiende a ser Levi-Civita, no creo que sea posible demostrarlo realmente mediante un experimento análogo, ni realizar un experimento mental sin retorcer seriamente la imaginación. Uno de los problemas es que la torsión se considera generalmente como la rotación del espacio tangente normal a la curva sobre la curva (bajo ciertas suposiciones). En los ejemplos bidimensionales en los que nos gusta pensar, el espacio tangente normal a la curva es unidimensional y el grupo de rotación para él es bastante trivial.

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Tampoco estoy completamente seguro de su interpretación sobre el transporte paralelo (o de su afirmación sobre la traslación igual a la torsión, que me parece un poco sospechosa). He aquí por qué: el transporte paralelo de un vector es lineal con respecto a la multiplicación escalar. Todo el asunto de una traslación sugiere una transformación afín-lineal como escribiste. El transporte paralelo del vector cero no debería ser otra cosa que el vector cero.

Answer 4

Esto iba a ser un comentario en Secret Blogging, pero probablemente fue clasificado como spam (no es que no esté de acuerdo con eso), así que lo pego aquí en su lugar.

Un ejemplo a tener en cuenta es $S^3$ . La métrica de la incrustación ordinaria en $E^3$ da una conexión de curvatura constante sin torsión. Las geodésicas son todas grandes círculos y se divide en clases equivalentes de geodésicas paralelas (la fibración de Hopf). Un observador que viaje a lo largo de una geodésica observará cómo las geodésicas cercanas se retuercen a su alrededor. Se trata de un análogo en dimensiones superiores de cómo se observa que las geodésicas cercanas en dos dimensiones realizan oscilaciones sinusoidales cuando la curvatura es positiva. La forma de curvatura es una dos-forma con valor so(3) que integrada alrededor (del interior) de un bucle cerrado da la rotación de un marco transportado alrededor del bucle. Ahora bien, dado un elemento de so(3) en un punto de la variedad, puede reinterpretarse como un vector en el espacio tangente. (Este es el isomorfismo habitual so(3) <-> vector de velocidad angular). Esto convierte la forma de curvatura en una forma de torsión, dando una nueva conexión sin curvatura pero con torsión "constante" (homogénea). Integrando la forma de torsión se obtiene un vector tangente que es la traslación del espacio tangente cuando se traslada alrededor de una espira (no necesariamente pequeña).

Esta conexión de paralelismo absoluto tiene las mismas geodésicas que la conexión de curvatura constante. Pero en este caso, un observador que se desplaza a lo largo de una geodésica, creo, no observa ninguna torsión de las geodésicas cercanas. En su lugar, ve que las geodésicas cercanas son líneas completamente rectas, pero que van por detrás (¿o por delante?). De algún modo, una conexión de torsión introduce una ambigüedad en el concepto de velocidad que un observador interpretaría como que la vecindad inmediata no permanece en su sitio, sino que se desliza

Ahora, paquetes. Tomemos el haz tangente $TM$ de algún colector y liberar cada espacio tangente de su punto de contacto con el colector. Esto convierte los espacios tangentes en espacios afines y el haz tangente en un haz afín $AM$ . Este haz no tiene una sección cero distinguida, sino que todos y cada uno de los puntos de una fibra afín tienen el mismo derecho a ser considerados puntos de la variedad subyacente. Entonces, dando una conexión sobre $M$ debe darse el caso de que la conexión tenga torsión evanescente si y sólo si cada bucle cerrado contractible en $M$ se eleva a un bucle cerrado en $AM$ ?

La conexión en $R^3$ con líneas rectas como geodésicas y cuando un marco se transporta a lo largo de una línea, gira, viene dado por $\nabla_XY=\nabla_YX=Z$ etc. Se trata de nuevo de una conexión de curvatura constante sin torsión.