Presheaves como límites de lo representable functors?

Question

Si no recuerdo mal, leí que, dado un presheaf P:C^op -> es posible describirlo como un límite de representable presheaves. Podría alguien dar una descripción de la construcción junto con un comprobante?

Answer 1

Quiere usted decir con "colimit de representable presheaves", no tiene límite. Los límites que C tiene son conservados por el Yoneda incrustación. Así que si C es, digamos, un completo poset como • → •, por lo que es pequeño y tiene todos los límites, usted no será capaz de producir cualquier no-representable presheaves tomando límites de lo representable.

La forma de escribir cualquier presheaf como un colimit de representables es, como todas las cosas Yoneda relacionados con, un tanto tautológica, y debe ser resuelto por sí mismo; pero de todos modos se explica, en cierta medida en este nlab página. En lugar de escribir las fórmulas, a menudo pienso en el ejemplo de simplicial establece: cada conjunto simplicial X puede ser formado como un colimit de su simplices, es decir, un diagrama de representables que está indizada en la "categoría de simplices de X", cuyos objetos son pares (n, x), donde n es en la categoría de indexación y x es un objeto de X_n. El mismo funciona en cualquier presheaf categoría.

Answer 2

Creo que te refieres a cualquier presheaf es colimit de representable presheaf. Se sigue de Yoneda Lema. Es bien sabido que la categoría de presheaves es completa y cocomplete. Así que usted puede tomar límites y colimits.

Esta propiedad tiene cierta intuición geométrica. Porque se puede tomar cualquier presheaf como un espacio(este punto de vista fue propuesto por primera vez por Gabriel y desarrollado por Grothendieck y revisado en todos los casos por Kontsevich-Rosenberg). Esta afirmación significa que cualquier "espacio" puede ser pegados (en cierto sentido)de espacio afín(afín espacio se define como representable presheaf).

Answer 3

Por cierto, que desciption por Todd Trimble entretanto ha sido preparado en nLab:co-Yoneda lema (esto es lo que la pregunta anterior) y nLab:Día de convolución (para la declaración más general).

Answer 4

De ello se deduce por la forma fuerte de Yoneda lema. Si la base categoría $V$ es monoidal simétrica cerrada, completa y cocomplete, entonces cualquier presheaf $F:A^{\ast}\to V$ ha dejado Kan extensión a lo largo de la Yoneda incrustación. El coend fórmula para la izquierda Kan extensiones, a continuación, los rendimientos

$Fa\cong \int^{b}A(b, a)\otimes Fb$

Tenga en cuenta que el teorema dice que cada presheaf es un colimit de representables en un canónica manera, o que la cuña $w_{b}:A(b, a)\otimes Fb\to Fa$ es universal. O que el Yoneda la incrustación es densa.

Answer 5

Esto se desprende de la Yoneda lema - probablemente mi favorito manera de pensar acerca de este hecho es a través de coends de la manera descrita aquí por Todd Trimble, que creo que deja bastante claro lo que está pasando.