Complejidad del nudo aleatorio con vértices en la esfera

Question

Conectar $n$ puntos aleatorios de una esfera en un ciclo de segmentos entre puntos sucesivos:
     
Me gustaría saber la tasa de crecimiento, con respecto a $n$ de el número de cruce (el número mínimo de cruces de cualquier diagrama del nudo) $c(n)$ de dicho nudo. Sólo sé que $c(n)$ es $O(n^2)$ , porque se sabe que el número de cruces está limitado por _el número de palo_ $s(n)$ : $$\frac{1}{2}(7+\sqrt{ 8 c(K) + 1}) \le s(K)$$ para cualquier nudo $K$ . Y $s(n) \le n$ es inmediata.

Estoy seguro de que esto se ha explorado pero no lo encuentro en la literatura. Gracias por los consejos.

Answer 1

Editado el 2/9 tras discutirlo con Dylan Thurston

Parece poco probable que las proyecciones obvias de nudos puedan simplificarse en más de una constante por lo que parece probable que el número mínimo de cruces sea cuadrático. Sin embargo, el número de cruces por sí mismo es una medida extraña de la complejidad y es difícil de calcular. difícil de calcular. Sin embargo, está acotado a la baja por el volumen hiperbólico del complemento del nudo.

Sería posible obtener algunas pruebas experimentales alimentando la salida de su proceso aleatorio a través de snappea y observando los resultados. a través de snappea, y observando la distribución del volumen hiperbólico. Sin embargo, creo que el volumen hiperbólico probablemente crece a un ritmo menos que cuadrático. Se puede imaginar el engrosamiento del nudo en un toro sólido cada vez mayor, empujando hacia el exterior hasta que cada parte de la límite haya chocado con otro límite --- de forma similar a una subdivisión de Voronoi. Con tubos de diámetro constante $n^{-.5})$ el volumen total de tubos es del del volumen de la bola, por lo que la separación típica entre tubos debería ser $O(n^{-.5})$ . Esto sugiere que el número de caras en esta subdivisión debe ser $O(n^{3/2})$ que daría una triangulación que tendría $O(n^{3/2})$ tetraedro donde el nudo está en el 1-esqueleto, lo que implica que la norma de Gromov típica o el volumen hiperbólico probablemente crece como $O(n^{3/2})$ . Esto sólo implicaría $n^{3/2}$ cruces.

Marc Lackenby, en GEOMETRÍA ESPECTRAL, COMPLEMENTOS DE ENLACE Y DIAGRAMAS DE CIRUGÍA desarrollado un bello método para dar límites inferiores a los números de cruce de los nudos. Su método posiblemente podría aplicarse para mejorar esta situación, siempre que las constantes de Cheeger para estas variedades no sean demasiado pequeñas.

También es posible que se pueda estimar el grado del polinomio de Alexander, para obtener una estimación del número de cruce.

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, sino un comentario demasiado largo que sigue las sugerencias de Ian Agol y Bill Thurston.

El experimento sugiere (con un 97% de confianza) que la probabilidad de cruce (en una proyección especificada o aleatoria, para dos segmentos de línea con los cuatro puntos extremos elegidos de forma independiente uniformemente al azar con respecto a la medida de Haar) es mayor que $.2499$ y menos de $.2501$ . Tengo la consigna de no calcular nunca por integración lo que se puede calcular por simetría, así que la esperanza sería, para algún entero $S$ para escribir un total de $4S$ expresiones relacionadas con la simetría para la probabilidad cuya suma es idénticamente $S$ . Hasta ahora se me ha escapado ese truco; ¿alguien más lo ve posible?

Me sorprendería, por muy grande $n$ si es posible mejorar incluso un factor constante respecto a una proyección obvia elegida al azar. Apostaría entonces (aunque odiaría tener que demostrarlo) que $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\bar{c}(n)}{n^2} = \frac18,$$ donde $\bar{c}(n)$ es el valor esperado del número de cruces para $n$ puntos aleatorios de la esfera.

La sugerencia de una espina similar a Voronoi cuyo dual triangularía el complemento del nudo es interesante. Las caras individuales son secciones de paraboloides hiperbólicos. Parece razonable que su número sea estrictamente entre lineal y cuadrático, aunque todavía no veo una buena heurística para adivinar el orden correcto.

EDIT: He podido comprobar que la probabilidad de cruce es exactamente $\frac14$ a través de un proceso bastante (y probablemente innecesario) complicado. En la mayoría de las etapas se puede reducir a cálculos más sencillos utilizando simetrías o hechos agradables como el mapa de proyección que preserva la probabilidad de un $(d-1)$ -esfera en $\mathbb{R}^d$ en la bola de su primer $d-2$ componentes. Sin embargo, para el último paso tuve que calcular una integral, la misma que indica el momento angular de una moneda que gira (cuyo eje de rotación está en el plano de la moneda).

He empezado a sospechar que, en cierto sentido preciso, una integral es inevitable: que el límite de las configuraciones de cruce está curvado de forma que impide el estribo, al igual que la región al norte de $30^\circ$ latitud lleva exactamente $\frac14$ de la superficie de un globo perfecto, pero ninguna colección finita de $4S$ copias rotadas de la misma puede ser una $S$ -cubierta plegada. (La respuesta trascendental al problema habitual de cuatro puntos de Sylvester en el disco también desaconseja el enfoque de la cubierta finita).

Answer 3

Creo que debería consultar este artículo "The average crossing number of equilateral random polygons" de Y Diao, A Dobay, R B Kusner, K Millett y A Stasiak. http://iopscience.iop.org/0305-4470/36/46/002

Parece que ahora mismo no puedo conseguir el texto completo, así que no estoy seguro de cuál es exactamente su modelo de nudos aleatorios. Ciertamente no es exactamente lo que querías, ya que requieren que sus polígonos sean equiláteros. En su modelo, el número de cruces crece como $n \; \ln n$ .

Si esto no responde a su pregunta, considere la posibilidad de consultar el resto de la obra de Ken Millett. Él es una de las principales personas que trabajan en nudos aleatorios.

Answer 4

Puede encontrar estimaciones y otra información pertinente en los dos documentos siguientes:

Arsuaga, J., Blackstone, T.*, Diao,Y., Karadayi, E. , Saito, Y. Sampling Large Random knots in Confined Spaces. J. Phys. A: Math Gen. (2007) 40; 11697-11711

Arsuaga, J., Blackstone, T.*, Diao,Y., Karadayi, E. , Saito, Y. Enlace de polígonos aleatorios uniformes en espacios confinados. J. Phys. A: Math. Gen. (2007) 40; 1925-1936

y El número de enlace y el retorcimiento de paseos aleatorios uniformes y polígonos en espacios confinados E Panagiotou et al 2010 J. Phys. A: Math. Theor.

Answer 5

Hice algunos experimentos sobre los grados de los polinomios de Alexander, como sugirió Bill Thurston, y aquí hay una tabla de valores:

{{10, 1}, {20, 3}, {30, 7}, {40, 7}, {50, 19}, {60, 35}, {70, 
  43}, {80, 73}, {90, 73}, {100, 115}, {120, 123}, {140, 175}, {160, 
  233}, {180, 259}}

(el primer número es el número de vértices, el segundo es el grado del polinomio de Alexander). O, para los que somos más visuales, he aquí un gráfico:

Yo describiría la tasa de crecimiento como máximo $N^{3/2},$ consistente con la teoría de Bill.